返信遅れて申し訳ありません。
それで全て正解です
全ての証明が完璧だと思います
補題4も成立すると思います。この証明は思いつきませんでした。
これが成り立つということは、pの倍数の最小レピュニットがp^2の倍数でないという条件のみで、p^nに関して一般的な規則が表せますね。
逆に、pの倍数の最小レピュニットがp^2(p^3,p^4...)の倍数であるときでもこの計算は成立するので、やはりp^nに関して(少し違った)規則が表せます。
あれれさんのご提示により、こちらの可能性もあることがわかりました。
お二方のご協力のお陰で自分の中のモヤモヤが取れていった気がします。
お付き合いくださり、本当にありがとうございます
Nighteck
（しかも一般化と言い切るにはまだ遠いですね。(;o;)）
証明はもとより、設定した補題が正しいのかどうかもあまり自信がありませんが
もし補題4が成り立つなら、ここは掘り下げ甲斐がありそうです。