ｸｲｽﾞ大陸

ヒントです。遅くなってしまい申し訳ありません。

まずは13,17,7³,3³それぞれにおいて、その倍数の最小のレピュニットが何桁なのかを考えます。
(調べれば簡単に分かりますが、調べた結果を解答に使うのはナシでお願いします)
7³,3³に関しては、指数をはずした7,3から順に考えてください。

求め方はいろいろあります。
�@レピュニット数の小さい方からひたすら割って確かめる。
�A11…1ではなく99…9となる最小の数を求める。合同式を用いる。
�B11…1ではなく99…9となる最小の数を求める。循環小数を用いる。

ヒントですので詳しい計算方法は伏せますが、一言
�@→やらない方がいいと思います
�A→計算の回数は多いですがやることは簡単です。
�B→ただ割り算をするだけです。

ある定理を使えば、桁数に関するちょっとした法則を見つけ出すこともできます。
それにより�Aの計算が少し楽になったり�Bの答えに確信がもてたりします。

7,3の倍数の最小レピュニットを求めた後、7³,3³の倍数の最小レピュニットを求めるのは少し考える必要がありますが、そんなに苦労はしないと思います。

それぞれ最小のレピュニットさえ求まれば、あとはすぐ答えが出せるでしょう。


答えさえ出せれば正解なのですが、7,3の倍数の最小レピュニット桁数を求めてから7³,3³の倍数の最小レピュニット桁数を求めるところで、最小であることを厳密に示すのを忘れてしまいがちです。
少し計算をして確認しなければなりません。具体的には、7²の倍数の最小レピュニットが7³の倍数ではないことを示せていないです。
値が小さいので自明のように思いますが厳密には確認が必要です。
一般的には「pを素数、nを自然数として、pⁿの倍数の最小レピュニットがpⁿ⁺¹の倍数でもあるようなnとpが存在する」_※かもしれないということです。
指数が1つ上がる毎に確認が必要であるので、大きい数字を考えるのは非常に困難になります。これが13,17,21の指数に100とか1000とか大きな数字を入れられなかった理由の1つでもあります。

※これが真なのか偽なのかは自分でも結論に至っていません。自分は偽、つまり存在しないと思っているのですが、もし存在しないのであれば任意の自然数の倍数のレピュニット数について一般的な規則が表せると思います。
存在しないことを証明できる方、もしくは逆に存在する例を示せる方はどうかご教示願いたいです。