ｸｲｽﾞ大陸

問　以下のぼやき餅くんの主張は正しいか否か。
　正しいならそれを証明し、間違っているなら誤りの原因を指摘せよ。

ぼやき餅くんの主張
等式　_nC_k＝_n−2C_k−2＋_n−2C_k が成り立つことを証明します。

「n人からk人を選ぶ組み合わせ」の総数は、_nC_k 通りです。

この時、「n人からk人を選ぶ組み合わせ」を特定の二人(例えば、A君とB君) を選ぶか否かで場合分けすると、
(1) A君とB君を必ず選ぶ場合 → 残りのn−2人からk−2人選ぶので、その組み合わせは_n−2C_k−2通り。

(2) A君とB君を絶対選ばない場合 → 残りのn−2人からk人選ぶので、その組み合わせは_n−2C_k 通り。

(1)と(2)は、「n人からk人を選ぶ組み合わせ」を場合分けしたもの。(1)と(2)は同時に起こりえないので、
(1)と(2)の和、_n−2C_k−2＋_n−2C_k と「n人からk人を選ぶ組み合わせ」の総数は等しい。

よって、_nC_k＝_n−2C_k−2＋_n−2C_k となります。