ｸｲｽﾞ大陸

ちょっと時間かかりましたが解説。
〈解説〉
問１　指数法則を利用して変形すると、
与式＝ｉ＋(ｉ²)¹⁰⁰⁷＋ｉ^ｎ＋ｉ^ｎ＋1＋ｉ²×ｉ^ｎ＋ｉ²×ｉ^ｎ＋1＋ｉ^2014ｎ＋ｉ^2014ｎ＋1＋ｉ²×ｉ^2014ｎ＋ｉ²×ｉ^2014ｎ＋1
　　　＝ｉ＋(−1)¹⁰⁰⁷＋ｉ^ｎ＋ｉ^ｎ＋1−ｉ^ｎ−ｉ^ｎ＋1＋ｉ^2014ｎ＋ｉ^2014ｎ＋1−ｉ^2014ｎ−ｉ^2014ｎ＋1
　　　＝ｉ−1

問２　まず方程式の左辺を因数定理で因数分解すると、
(x−2)(x²＋2x＋2)＝0　となります。ここで、α、βは虚数解なので、これらは明らかに
方程式　x²＋2x＋2＝0　の解です。(実際にα、βの値を出す必要はありません)

さて、ここからいろいろな解き方がありますが、
本解では、下記の2点を活かして解きます。
(｡)　α、βは方程式　x³−2x−4＝0　の解である。
(｢)　α、βは方程式　x²＋2x＋2＝0　の解である。

(｡)より、α³−2α−4＝0　→　α³＝2α＋4
(｢)より、α²＋2α＋2＝0　→　α²＝−2α−2
ゆえに、α⁹＝(α³)³＝(2α＋4)³＝8α³＋48α²＋96α＋64＝8(2α＋4)＋48(−2α−2)＋96α＋64
　　　　　　　＝16α･･･�@
同様に、β⁹＝16β･･･�A　　解と係数の関係により、α＋β＝−2
�@と�Aの辺々を加え、α⁹＋β⁹＝16α＋16β＝−32

間違いあったらコメ欄からご指摘下さい。