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Nighteck
2014/05/03 00:12
すごく見にくくなっていたので書き直します。
a≡b mod10
はaとbの一の位が等しいことを表す。
f(n)を「1からnまでの自然数のうち、5の倍数の数を除いたもの全ての積」と定義する。
例:f(15)=1・2・3・4・6・7・8・9・11・12・13・14
9999!/5^2495
=f(9999)・f(1999)・f(399)・f(79)・f(15)・f(3)
f(10)=1・2・3・4・6・7・8・9≡6 mod10 より
f(10n-1)=f(10n)≡6^n mod10≡6 mod10
であることを利用して
9999!/5^2495
≡6^1000・6^200・6^40・6^8・4・6mod10
≡6・6・6・6・4・6mod10
≡4mod10
よって 9999!/5^2495 の一の位は4
次に2^2495について
2^(4n)≡6mod10より
2^2495=2^(4・623)・2^3 ≡6・8mod10≡8mod10
よって 2^2495 の一の位は8
求めるものは 9999!/10^2495 の一の位。
9999!/5^2495 = 9999!/10^2495 ・ 2^2495
それぞれの一の位から、9999!/10^2495 の一の位としてあり得るものは3か8である。
しかし9999!は5よりも2の因数の方が明らかに多く、9999!/10^2495は偶数であるので、9999!/10^2495の一の位は8である。
答え:8
a≡b mod10
はaとbの一の位が等しいことを表す。
f(n)を「1からnまでの自然数のうち、5の倍数の数を除いたもの全ての積」と定義する。
例:f(15)=1・2・3・4・6・7・8・9・11・12・13・14
9999!/5^2495
=f(9999)・f(1999)・f(399)・f(79)・f(15)・f(3)
f(10)=1・2・3・4・6・7・8・9≡6 mod10 より
f(10n-1)=f(10n)≡6^n mod10≡6 mod10
であることを利用して
9999!/5^2495
≡6^1000・6^200・6^40・6^8・4・6mod10
≡6・6・6・6・4・6mod10
≡4mod10
よって 9999!/5^2495 の一の位は4
次に2^2495について
2^(4n)≡6mod10より
2^2495=2^(4・623)・2^3 ≡6・8mod10≡8mod10
よって 2^2495 の一の位は8
求めるものは 9999!/10^2495 の一の位。
9999!/5^2495 = 9999!/10^2495 ・ 2^2495
それぞれの一の位から、9999!/10^2495 の一の位としてあり得るものは3か8である。
しかし9999!は5よりも2の因数の方が明らかに多く、9999!/10^2495は偶数であるので、9999!/10^2495の一の位は8である。
答え:8