ｸｲｽﾞ大陸

解答発表です。


この図形は、x軸、y軸に対して対称なので、第一象限内の面積を4倍すればよいことになります

円周角の定理から∠POQ=30°
x軸の正の向きとOQのなす角をα°とおく

求める面積は
(長方形S''S'''S'S)-(長方形R''R'''R'R)
=4×{(x軸、y軸、点Sで作られる長方形)−(x軸、y軸、点Rで作られる長方形)}
=4×{sin(α°+30°)cosα°−cos(α°+30°)sinα°}
=4sin(α°+30°-α°)
=4sin30°
=2


おまけ
円周角の定理から∠POQ=18°となり、あとは同様に計算すると
求める面積が4sin18°となります
このsin18°の求め方を知っているかどうかが、このおまけ問題の本質です。

sin18°の求め方は・・・
�@二等辺三角形から
∠A=36°、∠B=72°∠C=72°、AB=AC=1の二等辺三角形ABCで
BC=BDとなる点DをAC上にとると
∠CDB=∠BCD=72°より∠DBC=36° よって△BCDは△ABCと相似
また∠ABD=36°より△ABDはAD=BDの二等辺三角形　よってBC=BD=AD
BC=BD=AD=xとおくと、△BCDと△ABCの相似から
1-x:x = x:1、　x²+x-1=0
x>0なのでx=(√5-1)/2
AからBCに下した垂線の足をEをすると、BE=BC/2=(√5-1)/4
よって、sin18°=(√5-1)/4

�A等式から
18°×5=90°を利用して
θ=18°とおくと
sin2θ=cos3θ
2sinθcosθ=4cos³θ-3cosθ
両辺をcosθで割ると
2sinθ=4cos²θ-3
2sinθ=4(1-sin²θ)-3
4sin²θ+2sinθ-1=0
0<θ<π/2よりsinθ>0なので
sinθ=sin18°=(√5-1)/4

おまけの答えは4sin18°=√5-1です。


最初にαとおいた角度が、計算していくとキレイに消えてしまいます。
この図形の面積はαの値によらないのです。
中心角さえ決まれば、円周上の2点PQの位置によらず面積は一定になる。なんだか不思議じゃありませんか？
これが幾何学的に何か意味をもつのかはわかりません。
三角関数を使った図形問題を作ろうとしていたとき、計算をしていく過程でこのような結果を得られたので、これは面白いと思い問題にしてみました。