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No. 9
Nighteck
2014/01/18 02:35
一番大きな桁のところに任意の数が表れるようにすればよかったんですね。
a
n
単体で任意の数を含むんだろうなとは思っていたんですが、どのような形で表れるかを考えることができなかった。
解答を見させていただきましたが、少し気になる点がありました。
最初の証明で、lim(m→∞)f(m)を求めるときに、Bは任意の値であるのに安易にlim(m→∞)f(m)=∞としていいのでしょうか。
Bは全ての値で（もちろんB→∞でも）成り立たなければならないので、m→∞に加えB→∞とするとlim(m→∞)f(m)の値は定まりません。
確かにBに対しmを遥かに大きな値にすればf(m)は限りなく大きな値になりそうなのですが、証明としては少し不十分な気がします。
ここではf(m)が∞に発散することを示す必要はないと思います。
②で右辺と左辺の差が1以上あれば、必ずその範囲内に整数nが存在します。
f(m)≧1となるmの値が必ず存在することを示せればよいです。
f(m)=√{((B+1)*10
m
-47/12)/3}-√{(B*10
m
-47/12)/3} （一行目の式です）
f(m)≧1より
√{((B+1)*10
m
-47/12)/3}≧√{(B*10
m
-47/12)/3}+1
両辺2乗して(両辺正なので同値変換)
((B+1)*10
m
-47/12)/3≧(B*10
m
-47/12)/3 + 2√{(B*10
m
-47/12)/3} + 1
整理して
(10
m
/3)-1≧2√{(B*10
m
-47/12)/3}
両辺3倍
10
m
-3≧2√{3(B*10
m
-47/12)}
右辺は正であり、m=0は成り立たない。m≧1とする
両辺2乗して(同値変換)
10
2m
-6*10
m
+9≧12B*10
m
-47
10
2m
-6(1+2B)10
m
+56≧0 ・・・④
これが成り立つm(≧1)が存在すればよい
10
m
=xとおいて、y=x
2
-6(1+2B)x+56のグラフを考える
x
2
-6(1+2B)x+56=0とすると
x=3(1+2B)±√(36B
2
+36B-47) （B＞0なので√の中は正）
また、3(1+2B)＋√(36B
2
+36B-47)＞0
よって、グラフの形を考えると x≧3(1+2B)＋√(36B
2
+36B-47)においてy≧0
したがって、10
m
≧3(1+2B)＋√(36B
2
+36B-47) を満たす全てのm
すなわちm≧log
10
{3(1+2B)＋√(36B
2
+36B-47)}・・・⑤ を満たす全てのmで④が成り立ち、
②を満たすnが存在する。
よって題意は示される。
なお⑤は、②や④の十分条件であり必要十分ではありません。
なので⑤を満たさないmの値でも、②や④を満たすことはあります。
(というかf(m)≧1としている時点で②と必要十分にはならないですね。f(m)＜1で②を満たすことだってあるので。）
これだと、どんなに大きなBの値をとっても必ず成り立つmの値が存在することがわかると思います。
なんて言ってますが、この証明も解答を見てヒントを貰ってから考えたものなんですが・・・。
返信
I.T
厳密に説明しようとすると非常に長くなるので超直感的に
mは各Bに対して定義される上に独立な数なので、m=B^2という値をとることも可能です。
するとBを発散させてもf(m)は発散します。
I.T
an単体で任意の数を含むんだろうなとは思っていたんですが、どのような形で表れるかを考えることができなかった。
解答を見させていただきましたが、少し気になる点がありました。
最初の証明で、lim(m→∞)f(m)を求めるときに、Bは任意の値であるのに安易にlim(m→∞)f(m)=∞としていいのでしょうか。
Bは全ての値で（もちろんB→∞でも）成り立たなければならないので、m→∞に加えB→∞とするとlim(m→∞)f(m)の値は定まりません。
確かにBに対しmを遥かに大きな値にすればf(m)は限りなく大きな値になりそうなのですが、証明としては少し不十分な気がします。
ここではf(m)が∞に発散することを示す必要はないと思います。
②で右辺と左辺の差が1以上あれば、必ずその範囲内に整数nが存在します。
f(m)≧1となるmの値が必ず存在することを示せればよいです。
f(m)=√{((B+1)*10m-47/12)/3}-√{(B*10m-47/12)/3} （一行目の式です）
f(m)≧1より
√{((B+1)*10m-47/12)/3}≧√{(B*10m-47/12)/3}+1
両辺2乗して(両辺正なので同値変換)
((B+1)*10m-47/12)/3≧(B*10m-47/12)/3 + 2√{(B*10m-47/12)/3} + 1
整理して
(10m/3)-1≧2√{(B*10m-47/12)/3}
両辺3倍
10m-3≧2√{3(B*10m-47/12)}
右辺は正であり、m=0は成り立たない。m≧1とする
両辺2乗して(同値変換)
102m-6*10m+9≧12B*10m-47
102m-6(1+2B)10m+56≧0 ・・・④
これが成り立つm(≧1)が存在すればよい
10m=xとおいて、y=x2-6(1+2B)x+56のグラフを考える
x2-6(1+2B)x+56=0とすると
x=3(1+2B)±√(36B2+36B-47) （B＞0なので√の中は正）
また、3(1+2B)＋√(36B2+36B-47)＞0
よって、グラフの形を考えると x≧3(1+2B)＋√(36B2+36B-47)においてy≧0
したがって、10m≧3(1+2B)＋√(36B2+36B-47) を満たす全てのm
すなわちm≧log10{3(1+2B)＋√(36B2+36B-47)}・・・⑤ を満たす全てのmで④が成り立ち、
②を満たすnが存在する。
よって題意は示される。
なお⑤は、②や④の十分条件であり必要十分ではありません。
なので⑤を満たさないmの値でも、②や④を満たすことはあります。
(というかf(m)≧1としている時点で②と必要十分にはならないですね。f(m)＜1で②を満たすことだってあるので。）
これだと、どんなに大きなBの値をとっても必ず成り立つmの値が存在することがわかると思います。
なんて言ってますが、この証明も解答を見てヒントを貰ってから考えたものなんですが・・・。