ｸｲｽﾞ大陸

解答例は以下のようになります


任意の数列（自然数）をBとする。
また、ｍを0以上の整数とする。


素直ver

B*10^m≦an<(B+1)*10^m　･･･�@
となるm,nの組が存在すれば、Aは数列Bを含む。

B=0のとき、n=0、m=1のとき�@は成り立つ。

B≠0のとき、�@をnについて解くと、m>0とすれば、
√{(B*10^m-47/12)/3}-1/6≦n<√{((B+1)*10^m-47/12)/3}-1/6　…�A
となる。

右辺-左辺 =f(m)とすると、
f(m) = √{((B+1)*10^m-47/12)/3}-√{(B*10^m-47/12)/3}
= (10^m/3)/{√{((B+1)*10^m-47/12)/3}+√{(B*10^m-47/12)/3}}
= (√10^m/3)/{√{(B+1-47/(12*10^m))/3}+√{(B-47/(12*10^m))/3}}
より
lim(m→∞)f(m) = ∞
よって十分大きいｍに対して、�Aを満たす自然数nが存在する。
以上から、Aが任意の数列Bを含むことが示された。



背理ver

anがBを含まないと仮定すると、全てのmに対して
an<B*10^m、(B+1)*10^m≦a(n+1)
を満たす整数ｎが存在する。

よって、全てのmに対して、
(B+1)*an<B*(B+1)*10^m≦B*a(n+1)　…�B
を満たす整数nが存在する。
ここで、中辺をmの関数、右辺をnの関数と見ると、中辺は増加関数であり、B≠0のとき
lim(m→∞)(中辺)=∞
追い出しの原理からlim(m→∞)(右辺)=∞
また、右辺もn>0を満たす実数で連続な増加関数なので明らかにnは無限に発散する。
このとき、n>0とすれば、
(B+1)*an＜B*a(n+1)
(B+1)<B*a(n+1)/an
両辺のn→∞の極限をとれば、
左辺→(B+1)
右辺→B
となり、十分大きいnに対して矛盾する。

したがって、全てのmに対して�Bが成り立つことはないので、数列Bを含むanが存在する。
以上から、Aが任意の数列Bを含むことが示された。


赤文字部分は2014/1/18 10:47に修正