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りむじん
2013/09/24 16:50
続けて、
「４点が円の中心を通る一直線上に位置する条件は、それぞれの半径に関わらず一定である」
ことを示します。
Aの角度がxで、A周している時、
実際に成す角度はx-2πA
Bの角度が2xで、B周している時、
実際に成す角度は2x-2πB
但し、A、Bは整数で0≦A≦B
３点OABが一直線上にある時、Aの反対側にBがある場合にも注意すると、これは
x-2πA=2x-2πB
または
x-2πA=2x-2πB-π
と表せ、これにより
x=2π(B-A)
または
x=2π(B-A)+π
となるので、B-Aは0以上の整数であることより、
結局xはπの偶数倍または奇数倍、
つまりπの整数倍であれば、３点は一直線上に並びます。
xがπの偶数倍の時、４点が同一直線上で、円の中心に対して同じ側にあり、
xがπの奇数倍の時、２点ずつが円の中心に対して互いに反対側にあります。
同時に、xがπの整数倍でない時は、４点は円の中心を含む一直線を成さないので、
やはり初めて４点が円の中心を含む一直線上に並ぶのは、それぞれの半径に関わらずAの半周期後と言えます。
すなわち、
「４点の角速度の比が1:2:3:4で、その全てが円の中心を通る一直線上に並ぶ」という問題では、その半径に依らないことになります。
(そこのルールを明確に記さなかったからこのような難しい事態が起きるのですね。今後注意します)
「４点が円の中心を通る一直線上に位置する条件は、それぞれの半径に関わらず一定である」
ことを示します。
Aの角度がxで、A周している時、
実際に成す角度はx-2πA
Bの角度が2xで、B周している時、
実際に成す角度は2x-2πB
但し、A、Bは整数で0≦A≦B
３点OABが一直線上にある時、Aの反対側にBがある場合にも注意すると、これは
x-2πA=2x-2πB
または
x-2πA=2x-2πB-π
と表せ、これにより
x=2π(B-A)
または
x=2π(B-A)+π
となるので、B-Aは0以上の整数であることより、
結局xはπの偶数倍または奇数倍、
つまりπの整数倍であれば、３点は一直線上に並びます。
xがπの偶数倍の時、４点が同一直線上で、円の中心に対して同じ側にあり、
xがπの奇数倍の時、２点ずつが円の中心に対して互いに反対側にあります。
同時に、xがπの整数倍でない時は、４点は円の中心を含む一直線を成さないので、
やはり初めて４点が円の中心を含む一直線上に並ぶのは、それぞれの半径に関わらずAの半周期後と言えます。
すなわち、
「４点の角速度の比が1:2:3:4で、その全てが円の中心を通る一直線上に並ぶ」という問題では、その半径に依らないことになります。
(そこのルールを明確に記さなかったからこのような難しい事態が起きるのですね。今後注意します)