回答有難うございました。 夏休みも終わりましたので、答えを書いておきます。
式の形が整っているので、何かスマートな解法があるのでは?と思いましたが見つけることができず、結局はヤボッたい解き方になってしまいました。
x(1+z)=y(1+x)=z(1+y)…① x+y+z=xy+yz+zx…② x＞y＞z…③
y(1+x)=z(1+y) より、y=z/(1+x-z)…④
x(1+z)=y(1+x) に④を代入 x(1+z)=z(1+x)/(1+x-z)→x(1+z)(1+x-z)=z(1+x)…⑤
⑤を移項、整理して因数分解すると (x-z)(xz+x+1)=0
x＞zより、xz+x+1=0 → x(z+1)+1=0 → x(1+z) = -1
①より、x(1+z)=y(1+x)=z(1+y) = -1 …⑥ であることがわかります。
②より、2(x+y+z)=(x+y+z)+(xy+yz+zx)=x(1+z)+y(1+x)+z(1+y) = -3
よって、x+y+z = -3/2…⑦
⑥の y(1+x)=-1 より、y= -1/(1+x)…⑧ x(1+z)= -1 より、z= -(1+x)/x…⑨
⑧⑨を⑦に代入 x - 1/(1+x) - (1+x)/x = -3/2
両辺を2倍し、移項して整理すると 2｛x^2(1+x)-x-(1+x)^2｝+3x(1+x)=0→ 2x^3+3x^2-3x-2=0
因数分解して、(x-1)(2x+1)(x+2)=0 x= 1,-1/2,-2
それぞれのxについて(x,y,z)を求めると、(x,y,z)=(1,-1/2,-2),(-1/2.-2,1),(-2,1,-1/2)
③が成り立つのは、(1,-1/2,-2)だけ。よって求める答え→(x,y.z)=(1,-1/2.-2)
式の形が整っているので、何かスマートな解法があるのでは?と思いましたが見つけることができず、結局はヤボッたい解き方になってしまいました。
x(1+z)=y(1+x)=z(1+y)…① x+y+z=xy+yz+zx…② x＞y＞z…③
y(1+x)=z(1+y) より、y=z/(1+x-z)…④
x(1+z)=y(1+x) に④を代入 x(1+z)=z(1+x)/(1+x-z)→x(1+z)(1+x-z)=z(1+x)…⑤
⑤を移項、整理して因数分解すると (x-z)(xz+x+1)=0
x＞zより、xz+x+1=0 → x(z+1)+1=0 → x(1+z) = -1
①より、x(1+z)=y(1+x)=z(1+y) = -1 …⑥ であることがわかります。
②より、2(x+y+z)=(x+y+z)+(xy+yz+zx)=x(1+z)+y(1+x)+z(1+y) = -3
よって、x+y+z = -3/2…⑦
⑥の y(1+x)=-1 より、y= -1/(1+x)…⑧ x(1+z)= -1 より、z= -(1+x)/x…⑨
⑧⑨を⑦に代入 x - 1/(1+x) - (1+x)/x = -3/2
両辺を2倍し、移項して整理すると 2｛x^2(1+x)-x-(1+x)^2｝+3x(1+x)=0→ 2x^3+3x^2-3x-2=0
因数分解して、(x-1)(2x+1)(x+2)=0 x= 1,-1/2,-2
それぞれのxについて(x,y,z)を求めると、(x,y,z)=(1,-1/2,-2),(-1/2.-2,1),(-2,1,-1/2)
③が成り立つのは、(1,-1/2,-2)だけ。よって求める答え→(x,y.z)=(1,-1/2.-2)