ｸｲｽﾞ大陸

わかったと言って暗号のような文を載せておいて説明なしでは無責任だと思うので(笑)、
一応、解説を載せておきます


cの式の解説をする前に、割る回数(すなわちa、b)について述べておきます
実は、割る回数はどのような折り方をしても一定で、その回数はxy-1となります
どのように割っても、一回割るごとにかたまりは一つずつ増えます
最終的にピースの数（xy個）だけ増やせばいいから、
最初の1個の状態から、xy個まで、xy-1回増やせばいいので、割る回数はxy-1です
cの説明には、これがわかっていることが前提です


続いてcについてです
まず、チョコ板の2つのかたまりがある場合の割り方の総数を考えます
それぞれのチョコ板の割り方に加え、2つのかたまりを割っていく順序も考慮する必要があります
片方のチョコ板を縦x₁ピース・横y₁ピース、その割り方の総数をa₁通り
もう片方チョコ板を縦x₂ピース・横y₂ピース、その割り方の総数をa₂通りとすると、
片方のチョコ板の割る回数はx₁y₁-1回、
もう片方チョコ板の割る回数はx₂y₂-1回となります
両方のチョコ板の割り方の総数はa₁×a₂通り
片方をx₁y₁-1回、もう片方をx₂y₂-1回、両方とも合わせて好きな順番で割る方法は(x₁y₁-1+x₂y₂-1)!/(x₁y₁-1)!(x₂y₂-1)!通り　（同じものを含む順列の考え方）
すなわち、2つのチョコ板の割り方の総数は
a₁×a₂×(x₁y₁-1+x₂y₂-1)!/(x₁y₁-1)!(x₂y₂-1)!
=a₁a₂(x₁y₁-x₂y₂-2)!/(x₁y₁-1)!(x₂y₂-1)!・・・�@通りとなります

そこで、1回目の割りで分かれた2つのかたまりについて、この考え方を使います
これ以降、cを求めるチョコ板を縦xピース・横yピースとし、そのcの値をc_x,yとします
1回目の割りでは、横に割るのがx-1通り、縦に割るのがy-1通りあります
そのすべてのパターンに対して使い、それを合計すれば、c_x,yが求められます
横に割るパターンが　縦1・横yと縦x-1・横y、縦2・横yと縦x-2・横y、・・・縦x-1・横yと縦1・横y
縦に割るパターンが　縦x・横1と縦x・横y-1、縦x・横2と縦x・横y-2、・・・縦x・横y-1と縦x・横1
�@に、a₁=c_赤,青、a₂=c_緑,紫、x₁=赤、y₁=青、x₂=緑、y₂=紫としてそれぞれ代入し、合計を求めます（横に割るパターンと縦に割るパターンもたします）
Σを使って表現すると
c_x,y=Σ(k=1,x-1) {c_k,yc_x-k,y(yk+y(x-k)-2)!}/{(yk-1)!(y(x-k)-1)!}　+
　　　Σ(k=1,y-1) {c_k,xc_y-k,x(xk+x(y-k)-2)!}/{(xk-1)!(x(y-k)-1)!}
一行目が横に割るパターンの合計、二行目が縦に割るパターンの合計です
ただし、これだとxやyが1のときにΣの範囲がおかしくなってしまいます
なのでxやyが1になるときのみ場合分けを行うと、No.10のスレのようになります
以上です


あくまで漸化式なので、小さい数から順番に求める必要があります
c_1,k=(k-1)!は考えればすぐわかるし、c_2,2=4は数えればすぐわかります
これらを使えば、式によりc_2,3が求まり
c_2,3からc_2,4、c_3,3が求まります
さらにc_2,3、c_2,4、c_3,3からc_3,4が求まる・・・というように、小さい数から順に求めていけばあらゆるcの値を求めていくことができます

>>12
確かにそうですね。

c_x,y→A_x,yと書き直すと
Σ(k=1,x-1) {c_k,yc_x-k,y(yk+y(x-k)-2)!}/{(yk-1)!(y(x-k)-1)!}
→Σ(k=1,x-1) {A_k,yA_{x-k,y　yk+y(x-k)-2}C_yk-1}

Σ(k=1,y-1) {c_k,xc_y-k,x(xk+x(y-k)-2)!}/{(xk-1)!(x(y-k)-1)!}
→Σ(k=1,y-1) {A_k,xA_{y-k,x　xk+x(y-k)-2}C_xk-1}
となり、もっと簡潔に表せますね