回答有難うございました。答えを書いておきます。図がないのでわかり辛いと思いますが、ご容赦を。
問題の正三角形を⊿ABCとし、⊿ABCの辺AB上に点Pを、辺AC上に点Qをそれぞれ取って線分PQで⊿ABCの面積を二等分します。⊿ABCの面積は√3(cm^2)ですから、⊿APQの面積が√3/2(cm^2)になればよいことになります。AP=x(cm),AQ=y(cm),⊿APQの面積=S(cm^2)とします。(x,yは共に2以下の正数てす)
S=(√3/4) xy = √3/2 → xy = 2
次に、⊿APQでPから辺AQ(又はその延長上)に下ろした垂線の足をRとし、⊿PQRに三平方の定理を適用すると以下の関係が成り立ちます。
PQ^2 = (√3/2 x)^2 + (y-1/2 x)^2 = x^2+y^2-xy = (x-y)^2+xy ≧ xy = 2
即ち、PQ^2 ≧ 2 (等号成立はx=y=√2 のとき)
PQは当然正数ですから、PQ≧√2 → 従って、求める線分の最短の長さは√2cm。
このとき⊿APQは一辺が√2cm の正三角形になります。
これとは違う証明方法がありましたら教えてくださいね。
問題の正三角形を⊿ABCとし、⊿ABCの辺AB上に点Pを、辺AC上に点Qをそれぞれ取って線分PQで⊿ABCの面積を二等分します。⊿ABCの面積は√3(cm^2)ですから、⊿APQの面積が√3/2(cm^2)になればよいことになります。AP=x(cm),AQ=y(cm),⊿APQの面積=S(cm^2)とします。(x,yは共に2以下の正数てす)
S=(√3/4) xy = √3/2 → xy = 2
次に、⊿APQでPから辺AQ(又はその延長上)に下ろした垂線の足をRとし、⊿PQRに三平方の定理を適用すると以下の関係が成り立ちます。
PQ^2 = (√3/2 x)^2 + (y-1/2 x)^2 = x^2+y^2-xy = (x-y)^2+xy ≧ xy = 2
即ち、PQ^2 ≧ 2 (等号成立はx=y=√2 のとき)
PQは当然正数ですから、PQ≧√2 → 従って、求める線分の最短の長さは√2cm。
このとき⊿APQは一辺が√2cm の正三角形になります。
これとは違う証明方法がありましたら教えてくださいね。