この問題、流行っているのでしょうか？
その数字ができないことを証明した方が早いのでは？と思ったので絨毯爆撃いたします。
考え方は指数対数を使うとか、小数を使うとかいろいろなバリエーションがありますが、
小数はひとまず無視して四則演算と指数の５演算に限ります。
このとき、大きい数字から小さい数字を引く（割る）は一意に決まりますが、
指数はA^BとB^Aの２通り考えられるので組み合わせ数は「６」になります。
あと、４を並べる４４や４４４も例外で認めましょうか。
さて、４を４つ使うということですが分けて考えると
①４を一つ使う→組み合わせ１通り
②４を二つ使う→組み合わせ６通り
③４を三つ使う→①②の組み合わせ、１×６×６と「４４４」の３７通り
これで試算できます。４を４つ使うのは
①③の組み合わせ１×６×３７＝２２２通り
②②の組み合わせ６×６×６＝２１６通り
並べる例外、４４４４の１通り
の計４３９通りが理論的には組み合わせとして存在します（重なり・解なし含め）
では具体的に
①４を１つ使った場合
４
しかできません
②４を２つ使った場合
０＝４－４
１＝４÷４
８＝４＋４
１６＝４×４
（４４＝４、４）
２５６＝４＾４
の６種類しかできません。抜けはないですね？
③４を３つ使った時は並べ「４４４」以外は①②の組み合わせで
（和）６通り
４＝４＋０
５＝４＋１
１２＝４＋８
２０＝４＋１６
４８＝４＋４４
２６０＝４＋２５６
（差）６通り
４＝４－０
５＝４＋１
４＝８－４
１２＝１６－４
４０＝４４－４
２６０＝２５６－４
（積）６通り
０＝４×０
４＝４×１
３２＝４×８
６４＝４×１６
１７６＝４×４４
１０２４＝４×２５６
（商）６通り
解なし＝４÷０
４＝４÷１
２＝８÷４
４＝１６÷４
１１＝４４÷４
６４＝２５６÷４
（指数）１２通り
１＝４＾０、０＾４
４＝４＾１、１＾４
８＾４、４＾８
１６＾４、４＾１６
１１＾４、４＾１１
６４＾４、４＾６４
「ならべる」１通り
４４４
さて、パーツができあがりました。
その数字ができないことを証明した方が早いのでは？と思ったので絨毯爆撃いたします。
考え方は指数対数を使うとか、小数を使うとかいろいろなバリエーションがありますが、
小数はひとまず無視して四則演算と指数の５演算に限ります。
このとき、大きい数字から小さい数字を引く（割る）は一意に決まりますが、
指数はA^BとB^Aの２通り考えられるので組み合わせ数は「６」になります。
あと、４を並べる４４や４４４も例外で認めましょうか。
さて、４を４つ使うということですが分けて考えると
①４を一つ使う→組み合わせ１通り
②４を二つ使う→組み合わせ６通り
③４を三つ使う→①②の組み合わせ、１×６×６と「４４４」の３７通り
これで試算できます。４を４つ使うのは
①③の組み合わせ１×６×３７＝２２２通り
②②の組み合わせ６×６×６＝２１６通り
並べる例外、４４４４の１通り
の計４３９通りが理論的には組み合わせとして存在します（重なり・解なし含め）
では具体的に
①４を１つ使った場合
４
しかできません
②４を２つ使った場合
０＝４－４
１＝４÷４
８＝４＋４
１６＝４×４
（４４＝４、４）
２５６＝４＾４
の６種類しかできません。抜けはないですね？
③４を３つ使った時は並べ「４４４」以外は①②の組み合わせで
（和）６通り
４＝４＋０
５＝４＋１
１２＝４＋８
２０＝４＋１６
４８＝４＋４４
２６０＝４＋２５６
（差）６通り
４＝４－０
５＝４＋１
４＝８－４
１２＝１６－４
４０＝４４－４
２６０＝２５６－４
（積）６通り
０＝４×０
４＝４×１
３２＝４×８
６４＝４×１６
１７６＝４×４４
１０２４＝４×２５６
（商）６通り
解なし＝４÷０
４＝４÷１
２＝８÷４
４＝１６÷４
１１＝４４÷４
６４＝２５６÷４
（指数）１２通り
１＝４＾０、０＾４
４＝４＾１、１＾４
８＾４、４＾８
１６＾４、４＾１６
１１＾４、４＾１１
６４＾４、４＾６４
「ならべる」１通り
４４４
さて、パーツができあがりました。