No. 7≫ No.8 最新レスです
河野真衣
2013/04/02 12:30
回答有難うございました。答えです。
a+b+c+d=1 → b+c+d=1-a…① a^2+b^2+c^2+d^2=1 → b^2+c^2+d^2=1-a^2…②
コーシー･シュワルツの不等式より
(b+c+d)^2 ≦ 3(b^2+c^2+d^2) …③ (等号成立はb=c=d のとき)
①,②を③に代入→ (1-a)^2≦3(1-a^2)
移項して整理すると 2(2a^2-a-1) ≦ 0 → 2(2a+1)(a-1) ≦ 0 → -1/2 ≦ a ≦ 1
このことから、 a の最小値は -1/2 (このとき、b=c=d=1/2)
尚、コーシー・シュワルツの不等式を利用すれば、文字数が増えた場合
a+b+c+…＋h=1 , a^2+b^2+c^2+…+h^2=1 としたときの a の最小値を求める問題も簡単に答えを出すことができますね。
a+b+c+d=1 → b+c+d=1-a…① a^2+b^2+c^2+d^2=1 → b^2+c^2+d^2=1-a^2…②
コーシー･シュワルツの不等式より
(b+c+d)^2 ≦ 3(b^2+c^2+d^2) …③ (等号成立はb=c=d のとき)
①,②を③に代入→ (1-a)^2≦3(1-a^2)
移項して整理すると 2(2a^2-a-1) ≦ 0 → 2(2a+1)(a-1) ≦ 0 → -1/2 ≦ a ≦ 1
このことから、 a の最小値は -1/2 (このとき、b=c=d=1/2)
尚、コーシー・シュワルツの不等式を利用すれば、文字数が増えた場合
a+b+c+…＋h=1 , a^2+b^2+c^2+…+h^2=1 としたときの a の最小値を求める問題も簡単に答えを出すことができますね。