大分時間が開いてしましたが
、そろそろ解答を発表しようと思います。
とりあえず大まかな方針を。
今、題意を満たすような３行Ｎ列のマスの塗り方の総数を c
n で表わすとします。
このうち、ｎ列目の色の塗り方が、①上の行と下の行が同じ色であるもの「
赤青赤、
緑赤緑など」の総数を a
n とします。またｎ列目の塗り方が、②全て異なる色であるもの「
赤青緑、
青赤緑など」の総数を b
nとします。
どのような列の塗り方も①か②に分類出来ますので、c
n = a
n + b
n が成立します。
そんでもって、a
n , b
n , a
n+1 , b
n+1 について成り立つ関係式を考えていきます。
n列目の色の塗り方が①の場合、例えば「
赤青赤」であれば、
n+1列目の色の塗り方としてあり得るのは、①の塗り方が３通り「
青赤青、
青緑青、
緑赤緑」
②の塗り方が２通り「
青赤緑、
緑赤青」あります。
同様に考えてn列目の色の塗り方が②の場合、n+1列目について①の塗り方が２通り、②の塗り方が２通りあります。
故に
a[n+1] = 3*a[n] + 2*b[n]
b[n+1] = 2*a[n] + 2*b[n]
が成り立つ。
初項は、数え上げて、a[1] = 6 , b[1] = 6
問１はこの関係式により、順次 a[2], b[2], a[3], b[3] を求めていき、後からa[n] と b[n]を足せば良い。」。
問２は「連立漸化式の解き方」等で調べて貰えれば色々乗ってますので放り投げ(ﾉ´□｀)ﾉ
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
問１
N=1：12
N=2：54
N=3：246
N=4：1122
N=5：5118
N=6：23346
問２： 6{(4+√17)*(5+√17)^(N-1)-(4-√17)*(5-√17)^(N-1)}/(√17*2^(N-1))
とりあえず大まかな方針を。
今、題意を満たすような３行Ｎ列のマスの塗り方の総数を cn で表わすとします。
このうち、ｎ列目の色の塗り方が、①上の行と下の行が同じ色であるもの「赤青赤、緑赤緑など」の総数を an とします。またｎ列目の塗り方が、②全て異なる色であるもの「赤青緑、青赤緑など」の総数を bnとします。
どのような列の塗り方も①か②に分類出来ますので、cn = an + bn が成立します。
そんでもって、an , bn , an+1 , bn+1 について成り立つ関係式を考えていきます。
n列目の色の塗り方が①の場合、例えば「赤青赤」であれば、
n+1列目の色の塗り方としてあり得るのは、①の塗り方が３通り「青赤青、青緑青、緑赤緑」
②の塗り方が２通り「青赤緑、緑赤青」あります。
同様に考えてn列目の色の塗り方が②の場合、n+1列目について①の塗り方が２通り、②の塗り方が２通りあります。
故に
a[n+1] = 3*a[n] + 2*b[n]
b[n+1] = 2*a[n] + 2*b[n]
が成り立つ。
初項は、数え上げて、a[1] = 6 , b[1] = 6
問１はこの関係式により、順次 a[2], b[2], a[3], b[3] を求めていき、後からa[n] と b[n]を足せば良い。」。
問２は「連立漸化式の解き方」等で調べて貰えれば色々乗ってますので放り投げ(ﾉ´□｀)ﾉ
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問１
N=1：12
N=2：54
N=3：246
N=4：1122
N=5：5118
N=6：23346
問２： 6{(4+√17)*(5+√17)^(N-1)-(4-√17)*(5-√17)^(N-1)}/(√17*2^(N-1))