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Jacob
2013/01/13 07:10
問１：
1/a ＋ 1/b ＝ 1/2013 両辺に ×2013ab
2013b ＋ 2013a ＝ ab
ab － 2013(a ＋ b) ＝ 0
ab － 2013(a ＋ b) ＋ 2013^2 ＝ 2013^2
(a － 2013)(b － 2013) ＝ 2013^2
これより、(a － 2013) と (b － 2013) は 2013^2 の約数であることが解かる。
今、x が 2013^2 の約数であるとすると、a と b は以下のように書ける。
a ＝ 2013 ＋ 2013^2/x
b ＝ 2013 ＋ x
2013^2 ＝ 3^2・11^2・61^2 であるから、a も b も正の整数となるような x は、
x ＝ 3^(n1)・11^(n2)・61^(n3) (n1、n2、n3 は 0、1、2 いずれかの整数) であり、
計、3 × 3 × 3 ＝ 27 通りある。このうち、a ＝ b となる解が１つあり、
残りのうち a ＞ b となるものと、 a ＜ b となるものが半々ずつあるから、
題意を満たす(a, b) の組み合わせは 13 通りである。
そのうち a, b, 2013 の３つの数の最大公約数が 1 となるものは、
x ＝ 1, 3^2, 11^2, 3^2・11^2 のときであって、(a, b) を書き下せは、
(a, b) ＝ (4054182, 2014), (452254, 2022), (35502, 2134), (5734, 3102)
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
問２：
1/a ＋ 1/b ＝ 10/2013 の両辺を 10 で割れば、
1/10a ＋ 1/10b ＝ 1/2013 A＝10a, B＝10b と置くと、
1/A ＋ 1/B ＝ 1/2013 (A, Bは 10 の倍数)
問１のときと同様に式を変形すると、
A ＝ 2013 ＋ 2013^2/X
B ＝ 2013 ＋ X
と書ける。今、A も B も整数であるから X は 2013^2 の約数でなければならず、
その内、A と B が共に 10 の倍数となるようなものはないので、
条件を満たすような (a, b) の組合わせは存在しない。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
問３：
問２と同様に、A＝10a, B＝10b と置いて式を変形すると、
A ＝ 2013^10 ＋ 2013^20/X …①
B ＝ 2013^10 ＋ X …②
A と B は正の整数であることから、少なくても X は 2013^20 の約数であり、
X ＝ 3^(n1)・11^(n2)・61^(n3)…③ (n1,n2,n3 は整数で、0≦n1, n2, n3≦20 )
の 21×21×21＝9261 通りに絞られる。この内、A と B が10の倍数になるものを探す。
ここで、③式を①と②に代入して次のように式を纏めておく。
A ＝ 2013^10 ＋ 3^(20-n1)・11^(20-n2)・61^(20-n3)
B ＝ 2013^10 ＋ 3^(n1)・11^(n2)・61^(n3)
以下、s ≡ t (mod n) は s を n で割った余りと t を nで割った余りが等しいことを意味する。
2013^10 ≡ 3^10 ≡ 9 (mod 10) であるから、
3^(20-n1)・11^(20-n2)・61^(20-n3) ≡ 3^(n1)・11^(n2)・61^(n3) ≡ 1 (mod 10) …④
でなければならない。
11 ≡ 1 (mod 10), 61 ≡ 1 (mod 10), 3^(4m) ≡ 1 (mod 10)
3^(4m+1) ≡ 3 (mod 10), 3^(4m+2) ≡ 9 (mod 10), 3^(4m+3) ≡ 7 (mod 10) であり、
また s1 ≡ t1 (mod n), s2 ≡ t2 (mod n) ならば、s1・s2 ≡ t1・t2 (mod n)
が成り立つことに注意して、式④を満たすn1, n2, n3の値を考えると、
(0≦n2, n3≦20), (n1＝0,4,8,12,16,20) の 21×21×6＝2646 通りあることが解かる。
この内、a ＞ b となるものと a ＜ b となるものが半分ずつあるので、条件を満たすものは 1323通り。
1/a ＋ 1/b ＝ 1/2013 両辺に ×2013ab
2013b ＋ 2013a ＝ ab
ab － 2013(a ＋ b) ＝ 0
ab － 2013(a ＋ b) ＋ 2013^2 ＝ 2013^2
(a － 2013)(b － 2013) ＝ 2013^2
これより、(a － 2013) と (b － 2013) は 2013^2 の約数であることが解かる。
今、x が 2013^2 の約数であるとすると、a と b は以下のように書ける。
a ＝ 2013 ＋ 2013^2/x
b ＝ 2013 ＋ x
2013^2 ＝ 3^2・11^2・61^2 であるから、a も b も正の整数となるような x は、
x ＝ 3^(n1)・11^(n2)・61^(n3) (n1、n2、n3 は 0、1、2 いずれかの整数) であり、
計、3 × 3 × 3 ＝ 27 通りある。このうち、a ＝ b となる解が１つあり、
残りのうち a ＞ b となるものと、 a ＜ b となるものが半々ずつあるから、
題意を満たす(a, b) の組み合わせは 13 通りである。
そのうち a, b, 2013 の３つの数の最大公約数が 1 となるものは、
x ＝ 1, 3^2, 11^2, 3^2・11^2 のときであって、(a, b) を書き下せは、
(a, b) ＝ (4054182, 2014), (452254, 2022), (35502, 2134), (5734, 3102)
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問２：
1/a ＋ 1/b ＝ 10/2013 の両辺を 10 で割れば、
1/10a ＋ 1/10b ＝ 1/2013 A＝10a, B＝10b と置くと、
1/A ＋ 1/B ＝ 1/2013 (A, Bは 10 の倍数)
問１のときと同様に式を変形すると、
A ＝ 2013 ＋ 2013^2/X
B ＝ 2013 ＋ X
と書ける。今、A も B も整数であるから X は 2013^2 の約数でなければならず、
その内、A と B が共に 10 の倍数となるようなものはないので、
条件を満たすような (a, b) の組合わせは存在しない。
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問３：
問２と同様に、A＝10a, B＝10b と置いて式を変形すると、
A ＝ 2013^10 ＋ 2013^20/X …①
B ＝ 2013^10 ＋ X …②
A と B は正の整数であることから、少なくても X は 2013^20 の約数であり、
X ＝ 3^(n1)・11^(n2)・61^(n3)…③ (n1,n2,n3 は整数で、0≦n1, n2, n3≦20 )
の 21×21×21＝9261 通りに絞られる。この内、A と B が10の倍数になるものを探す。
ここで、③式を①と②に代入して次のように式を纏めておく。
A ＝ 2013^10 ＋ 3^(20-n1)・11^(20-n2)・61^(20-n3)
B ＝ 2013^10 ＋ 3^(n1)・11^(n2)・61^(n3)
以下、s ≡ t (mod n) は s を n で割った余りと t を nで割った余りが等しいことを意味する。
2013^10 ≡ 3^10 ≡ 9 (mod 10) であるから、
3^(20-n1)・11^(20-n2)・61^(20-n3) ≡ 3^(n1)・11^(n2)・61^(n3) ≡ 1 (mod 10) …④
でなければならない。
11 ≡ 1 (mod 10), 61 ≡ 1 (mod 10), 3^(4m) ≡ 1 (mod 10)
3^(4m+1) ≡ 3 (mod 10), 3^(4m+2) ≡ 9 (mod 10), 3^(4m+3) ≡ 7 (mod 10) であり、
また s1 ≡ t1 (mod n), s2 ≡ t2 (mod n) ならば、s1・s2 ≡ t1・t2 (mod n)
が成り立つことに注意して、式④を満たすn1, n2, n3の値を考えると、
(0≦n2, n3≦20), (n1＝0,4,8,12,16,20) の 21×21×6＝2646 通りあることが解かる。
この内、a ＞ b となるものと a ＜ b となるものが半分ずつあるので、条件を満たすものは 1323通り。