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魔雨
2012/11/27 12:33
改訂版です。
A=a^3,B=b^3,c=b-a=n-1とします。
B-A=(b-a)(b^2+c^2-ab)=(b-a)((b-a)^2-3ab)=c(c^2-3ab)
a,bの1の位の数字が5の場合
c^2は偶数なのでc^2-3abは奇数です。
B-Aは1000の倍数なので、cは8の倍数でなくてはいけません。
cは10の倍数でもありましたので、40の倍数と分かります。
逆にcが40の倍数の場合、c^2-3abは25の倍数ですので、B-Aは1000の倍数になります。
1の位の数字が5の部屋番号は40間隔で同じ三乗番号になっています。
差が40の倍数でないときは三乗番号は異なります。
5,15,25,35に対応する4種類の三乗番号が存在します。
a,bの1の位の数字が5以外の奇数の場合
c^2-3abは2の倍数でも5の倍数でもありませんのでcは1000の倍数でなくてはいけません。
この場合は1000間隔で同じ三乗番号となります。
a,bの1の位の数字が0の場合
三乗番号は常に0です。
10間隔で同じ三乗番号になります。
a,bの1の位の数字が0でない偶数の場合
c^2は5の倍数、3abは5の倍数ではありませんので、c^2-3abは5の倍数にはなりません。
c(c^2-3ab)は1000の倍数であり、1000は5^3の倍数なので、cは5^3の倍数でなくてはいけません。
cは10の倍数でもありましたので、250の倍数ということになります。
逆にcが250の倍数の場合、B-Aは1000の倍数になります。
aとbの差が250の倍数のときは三乗番号が等しく、そうでないときは三乗番号は異なります。
250間隔で同じ三乗番号になっています。
他の場合はありません。
xの1の位の数字が0の場合、三乗番号が0となるので不適です。
xの1の位の数字が2の場合
250間隔で三乗番号が等しくなりますので、b-aは250の倍数です。
x=10k+2と書けます(kは整数)
x≧a+250＞250ですので、k＞24です。
n-1=b-a、x+2=10k+4ですので、
n-1は250と10k+4のどちらでも割り切れます。
10k+4=2(5k+2)
5k+2は2の倍数でも5の倍数でもありませんので、
n-1は250(5k+2)の倍数でなくてはいけません。
250(5k+2)＞6500ですのでnは2000以上となり不適です。
同様にして、xの1の位の数字が4,6の場合も不適です。
xの1の位の数字が8の場合
三乗番号の1の位の数字は2となりますので不適です。
xの1の位の数字が1,3,7,9の場合
1000間隔で三乗番号が等しくなりますので、n≧2000となり不適です。
以上よりxの1の位の数字は5と確定します。
三乗番号は40間隔で等しくなります。
x=10k+5とします(k>3)
n-1は40(10k+7)の倍数です。
k=4のとき、40(10k+7)=1880
k=5のとき、40(10k+7)=2280
n＜2000ですので、k=4,n-1=40*47=1880と確定します。
a=5,x=45,b=1885,n=1881となります。
問題の条件をすべて満たしますので、x=45が答えです。
A=a^3,B=b^3,c=b-a=n-1とします。
B-A=(b-a)(b^2+c^2-ab)=(b-a)((b-a)^2-3ab)=c(c^2-3ab)
a,bの1の位の数字が5の場合
c^2は偶数なのでc^2-3abは奇数です。
B-Aは1000の倍数なので、cは8の倍数でなくてはいけません。
cは10の倍数でもありましたので、40の倍数と分かります。
逆にcが40の倍数の場合、c^2-3abは25の倍数ですので、B-Aは1000の倍数になります。
1の位の数字が5の部屋番号は40間隔で同じ三乗番号になっています。
差が40の倍数でないときは三乗番号は異なります。
5,15,25,35に対応する4種類の三乗番号が存在します。
a,bの1の位の数字が5以外の奇数の場合
c^2-3abは2の倍数でも5の倍数でもありませんのでcは1000の倍数でなくてはいけません。
この場合は1000間隔で同じ三乗番号となります。
a,bの1の位の数字が0の場合
三乗番号は常に0です。
10間隔で同じ三乗番号になります。
a,bの1の位の数字が0でない偶数の場合
c^2は5の倍数、3abは5の倍数ではありませんので、c^2-3abは5の倍数にはなりません。
c(c^2-3ab)は1000の倍数であり、1000は5^3の倍数なので、cは5^3の倍数でなくてはいけません。
cは10の倍数でもありましたので、250の倍数ということになります。
逆にcが250の倍数の場合、B-Aは1000の倍数になります。
aとbの差が250の倍数のときは三乗番号が等しく、そうでないときは三乗番号は異なります。
250間隔で同じ三乗番号になっています。
他の場合はありません。
xの1の位の数字が0の場合、三乗番号が0となるので不適です。
xの1の位の数字が2の場合
250間隔で三乗番号が等しくなりますので、b-aは250の倍数です。
x=10k+2と書けます(kは整数)
x≧a+250＞250ですので、k＞24です。
n-1=b-a、x+2=10k+4ですので、
n-1は250と10k+4のどちらでも割り切れます。
10k+4=2(5k+2)
5k+2は2の倍数でも5の倍数でもありませんので、
n-1は250(5k+2)の倍数でなくてはいけません。
250(5k+2)＞6500ですのでnは2000以上となり不適です。
同様にして、xの1の位の数字が4,6の場合も不適です。
xの1の位の数字が8の場合
三乗番号の1の位の数字は2となりますので不適です。
xの1の位の数字が1,3,7,9の場合
1000間隔で三乗番号が等しくなりますので、n≧2000となり不適です。
以上よりxの1の位の数字は5と確定します。
三乗番号は40間隔で等しくなります。
x=10k+5とします(k>3)
n-1は40(10k+7)の倍数です。
k=4のとき、40(10k+7)=1880
k=5のとき、40(10k+7)=2280
n＜2000ですので、k=4,n-1=40*47=1880と確定します。
a=5,x=45,b=1885,n=1881となります。
問題の条件をすべて満たしますので、x=45が答えです。