ｸｲｽﾞ大陸

ヒントを出しておきます。

任意の自然数xについて、xとx+1000の三乗番号は一致します。
仮に部屋番号が1から2000の2000個であった場合、
1≦x≦1000であれば、部屋番号x+1000が存在し、
1001≦x≦2000であれば、部屋番号x-1000が存在します。
ですのでこの場合は「他に同じ三乗番号を持つ部屋がないような部屋もあります」という条件を満たしません。
同様にしてn＜2000であることが分かります。

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9を三乗すると1の位の数字はそれぞれ0,1,8,7,4,5,6,3,2,9となり、すべて異なります。
部屋番号と三乗番号の1の位の数字は一対一に対応します。
a,b,xの1の位の数字はすべて等しく、b-aは10の倍数です。
c=b-aとすると、
b^3-a^3=(b-a)(b^2+c^2+ab)=(b-a)((b-a)^2+3ab)=c(c^2+3ab)
と書けます。
b^3-a^3は1000の倍数ですので・・・