ｸｲｽﾞ大陸

答えを発表します．

問題1
(case1)C≧2cの場合，給水能力と排水能力が同じか，あるいは後者の方が高いので，水は一向にたまりません．よって，水位は0で安定的です．
(case2)2c＞Cの場合，上面からの高さ2Lにある給水口(下面からは高さLであることに注意)に達するまでは必ず吸水量力が勝るので，1秒間当たり(2c-C)[m³]だけ水がたまっていき，前出の給水口に達するまで，1秒間当たり(2c-C)/9L²[m]だけ水位が上昇するので，L/{(2c-C)/9L²}=9L³/(2c-C)[s]要する．その後，水位が上昇するかどうかはcとCの大小関係で決まる．
(case2-1)C＜2c＜2Cの場合，c＜Cより水位は上昇しないし，瞬間的に水位が下がっても，上面からの高さ2Lにある給水口からの吸水が始まり，C＜2cだったから，直ぐに下の水位に戻る．よって，水位はLで安定的です．
(case2-2)C＜2c＝2Cの場合，吸水能力と排水能力が等しいので水位はLで安定的です．
(case2-3)c＞Cの場合，水位は上昇していきます．1秒間当たり(c-C)[m³]だけ水がたまっていき，上面に達するまで1秒間当たり(c-C)/9L²[m]だけ水位が上昇するので，2L/{(c-C)/9L²}=18L³/(c-C)[s]要する．上面では，すべての給水口が機能停止して水位は下がろうとするが，すぐさま上面の吸水がc＞Cの能力で始まるから，結局水位は3Lで安定的です．

以上を簡単にまとめると
C≧2c→安定水位0
C＜2c≦2C→安定水位L
C＜c→安定水位3L


問題2
(方法1)問題1を使う場合
上面からの高さLにある排水口が働くのは少なくともそこまで水位が上昇してくれる(case2-3)の場合しかありえません．それ以外の場合では，そもそもこの排水口が働かないので，無いに等しく結果は問題1で求めたものと変わりません．さて，(case2-3)c＞Cの場合ですが，これもその排水口に達するまでは問題1で示した通りの水位上昇を見せます．そして，ある時にその高さに達して，1秒間当たりx[m³]の排水が始まります．満水にならないための条件は，ここで排水能力と給水能力が等しいか，前者の方が高くなることですから，答えはc≦C＋xとなります．

(方法2)問題1を使わない場合
満水になるための条件は，「上面からの高さ2Lの給水口に達して」かつ「上面からの高さLの排水口に達して」かつ「上面に達する」ということから，「2c＞C」かつ「c＞C」かつ「c＞C＋x」となります．従って，満水にならないための条件は「2c≦C」または「c≦C」または「c≦C＋x」となります．これを「c≦…」の形に書き直すと，「c≦C/2」または「c≦C」または「c≦C＋x」となり，c,C,xは全て正の数なので，C/2＜C＜C＋xですから，数直線に範囲を描くと，「c≦C/2」または「c≦C」または「c≦C＋x」は結局c≦C＋xとなり，これが答えです．