<tt>問題と関係ない
見えてきた性質
まず，0<a<b<c<d<e<xでかつa^2+b^2+c^2+d^2=e^2となるような解の総数をc(x)と書く事にします．また，xが1だけ増加した時の解の総数の増分をi(x)=c(x)-c(x-1)と定義します．
各xに対してi(x)の変化を観察すると次の二点が見えてきます．
予想A.i(x)はxが4の倍数の時，周囲と比較して小さい値をとり，16の倍数の時，極端に小さな値をとり，32の倍数の時，0をとる．
予想B.xを素数に限定してi(x)を並べると，単調増加性を示す．
具体的にi(x)の値を順に並べてみます．ただし，i(x)が意味を持つのは，解が存在するx=9からなので，初項はx=9に対応します．赤字は周りに比べて小さい数字を表しており，これが周期的に現れます(xが16の倍数の時には極端に小さな値が並ぶ)．下線はxが素数の場合の値です．
1,0,
1,
0,
2,1,5,
0,
4,4,
5,
0,10,4,
7,
0,
11,7,17,
1,
13,17,
15,
0,29,13,27,
4,
23,17,41,
0,
29,35,
32,
4,66,24,
38,
0,47,35,73,
7,
50,56,73,
1,
91,42,
63,
17,
68,49,125,
0,103,93,
83,
13,133,86,
93,
4,
100,73,191,
17,139,130,
117,
0,186,91,
130,
35,180,101,216,
4,
151,207,195,
24,247,120,224,
0,
181,149,311,
35,
196,227,
204,
7,
442,156
,221,
56,
230,226,356,
1,
248,284,328,
42,432,196,337,
17,
312,211,440,
49,377,393,
315,
0,484,315,
336,
93,421,257,667,
13,
369,414,
380,
86,578,288,477,
4,528,308,715,
73,
438,587,
450,
17,
739,431,603,
130,
488,361,739,
0,615,576,
527,
91,1069,400,
553,
35,
611,548,919,
101,
595,665,873,
4,919,463,
638,
207,653,599,983,
24,
865,761,815,
120,1239,684,
728,
0,
745,554,1479,
149,
776,957,
792,…
</tt>
う〜ん、奥にはどんな理論があるのでしょうかねぇ．特に予想Bが正しいとなると素数論と結びつく非常に興味深い事実なのですが，個人的には．
まず，0<a<b<c<d<e<xでかつa^2+b^2+c^2+d^2=e^2となるような解の総数をc(x)と書く事にします．また，xが1だけ増加した時の解の総数の増分をi(x)=c(x)-c(x-1)と定義します．
各xに対してi(x)の変化を観察すると次の二点が見えてきます．
予想A.i(x)はxが4の倍数の時，周囲と比較して小さい値をとり，16の倍数の時，極端に小さな値をとり，32の倍数の時，0をとる．
予想B.xを素数に限定してi(x)を並べると，単調増加性を示す．
具体的にi(x)の値を順に並べてみます．ただし，i(x)が意味を持つのは，解が存在するx=9からなので，初項はx=9に対応します．赤字は周りに比べて小さい数字を表しており，これが周期的に現れます(xが16の倍数の時には極端に小さな値が並ぶ)．下線はxが素数の場合の値です．
1,0,1,0,2,1,5,0,4,4,5,0,10,4,7,0,
11,7,17,1,13,17,15,0,29,13,27,4,23,17,41,0,
29,35,32,4,66,24,38,0,47,35,73,7,50,56,73,1,
91,42,63,17,68,49,125,0,103,93,83,13,133,86,93,4,
100,73,191,17,139,130,117,0,186,91,130,35,180,101,216,4,
151,207,195,24,247,120,224,0,181,149,311,35,196,227,204,7,
442,156,221,56,230,226,356,1,248,284,328,42,432,196,337,17,
312,211,440,49,377,393,315,0,484,315,336,93,421,257,667,13,
369,414,380,86,578,288,477,4,528,308,715,73,438,587,450,17,
739,431,603,130,488,361,739,0,615,576,527,91,1069,400,553,35,
611,548,919,101,595,665,873,4,919,463,638,207,653,599,983,24,
865,761,815,120,1239,684,728,0,745,554,1479,149,776,957,792,…
</tt>
う〜ん、奥にはどんな理論があるのでしょうかねぇ．特に予想Bが正しいとなると素数論と結びつく非常に興味深い事実なのですが，個人的には．