氷が融けると水位は？ ≫No. 1
朱雀
2012/06/06 16:44
前回の面積の割合に引き続き，今回も興味深い問題を，というより個人的に興味を持ってやってみた計算をそのまま問題にします。テーマは，氷が融けるとき水位はどうなるのか，です。
これは体験型の問題で，実際に解きながら興味を持っていただければ，ということで誘導をかなり入れます。微積等は一切必要ありませんので，文字式の計算ができればどなたでも解いていただけます。
単位体積当たりの質量を密度といい，逆に体積に密度を掛けると質量が得られます。水の質量をρl，氷の質量をρsとします。個体が液体中にあるとき，個体が押しのけた液体の体積に働く重力に等しい力を上向きに受けます。これを浮力といいます。たとえば，円柱型の氷が水に真っ直ぐに浮いているとき，水中にある氷の体積がVであるならば，氷は上向きにρlVgの力を受けます。gは重力加速度です。
「公式」：水中に体積Vを持つ氷は水から上向きにρlVgの浮力を受ける
また，氷自身も自らの重力を受け，その重力は氷の体積をVとすると，ρsVgであり，下向きに受けます。氷が水中に静止しているとき，氷に働く力が釣り合っています。
以下では，高さh，幅l，奥行きdの直方体型の氷(以下，特にこの寸法の氷を氷塊と呼びます)を用いるものとします。また，水は高さ十分，幅L，奥行きDの直方体型水槽に入れられており，氷塊を入れる前の水位はHとします。
(1)氷塊が水に浮いているとき，ρlとρsの関係を求めてください。
(2)氷塊が水底に沈んでいるとき，氷塊は重力，浮力のほかに底からの抗力Nを受けます。このようになるためのρlとρsの関係と，抗力Nの大きさを求めてください。
(3)(1)(2)以外のとき，ρlとρsの関係を求め，どのような現象がみられるでしょうか。
実際に起こるのは(1)です。これはρlとρsの間に(1)で求めた関係が成り立つからです。
(4)氷塊を水に浮かべたとき，水中に沈む深さxを求めてください。
(5)氷塊を浮かべたことで水位が上昇します。初期水位Hからの上昇量Xを求めてください。
次に，氷塊のうち水に触れている部分のいくらかが瞬時に融けたとします。その結果，水に触れていなかった氷塊上部からh-xの部分は元のまま，下部からxの部分は，小さくなり，高さx，幅l'，奥行きd'になったものとし，また，上部と下部の中心軸は一致して，安定的に真っ直ぐ浮くことができるとします(以下，この寸法の氷を下部欠損氷塊と呼びます)。なお，この氷塊の融けた部分は水槽の水にプラスされたものとします。
(6)氷塊が下部欠損氷塊になることで融けた部分の氷としての体積を求めてください。
(7)(6)で求めた体積の質量を求めてください。
(8)(7)で求めた質量がそのまま水になるとき，水としての体積を求めてください。
(8)で求めた水が水槽の水にプラスされることを忘れないでください。
(9)下部欠損氷塊を水に浮かべるとき，水面は上部側面にあるのか，下部側面にあるのかが問題となります。実は0＜l'＜l，0＜d'＜dであれば，具体的なl',d'の値によらず水面が上部にあるのか下部にあるのかは決まります。どちらなのか求めてください。
(10)(9)で答えた部分のうち水中に沈んでいる深さx'を求めてください(上部と答えたならば，上部のうち水中に沈んでいる深さ，下部と答えたならば，下部のうち水中に沈んでいる深さ)。
(11)下部欠損氷塊を浮かべることによる初期水位Hからの水位上昇X'を求めてください。この時，水槽中の水が増えていることに注意してください。
(12)X'の式の一部分にXで表される部分が含まれていれば，その部分をXとして，X'とXの関係を明確にしてください。
(13)(12)で得た式から判断して氷塊を浮かべたときと下部欠損氷塊を浮かべたときとでは，どちらの方が水位は高いでしょうか。
では，次の場合はどうでしょうか。すなわち，氷塊の融け方が異なって，今度は水に触れていた部分がそのままのx×l×bで，空気に触れていた部分が融けて(h-x)×l''×d''になったと考えるのです。この寸法の氷を上部欠損氷塊と呼びます。
(14)氷塊が下部欠損氷塊になることで融けた部分の氷としての体積を求めてください。
(15)(14)で求めた体積の質量を求めてください。
(16)(15)で求めた質量がそのまま水になるとき，水としての体積を求めてください。
(17)上部欠損氷塊を水に浮かべるとき，水面は上部側面にあるのか，下部側面にあるのかが問題となります。実は0＜l''＜l，0＜d''＜dであれば，具体的なl'',d''の値によらず水面が上部にあるのか下部にあるのかは決まります。どちらなのか求めてください。
(18)(17)で答えた部分のうち水中に沈んでいる深さx''を求めてください(上部と答えたならば，上部のうち水中に沈んでいる深さ，下部と答えたならば，下部のうち水中に沈んでいる深さ)。
(19)上部欠損氷塊を浮かべることによる初期水位Hからの水位上昇X''を求めてください。この時，水槽中の水が増えていることに注意してください。
(20)X''の式にXで表される部分が含まれていれば，その部分をXとして，X''とXの関係を明確にしてください。
(21)(20)で得た式から判断して氷塊を浮かべたときと上部欠損氷塊を浮かべたときとでは，どちらの方が水位は高いでしょうか。
これは体験型の問題で，実際に解きながら興味を持っていただければ，ということで誘導をかなり入れます。微積等は一切必要ありませんので，文字式の計算ができればどなたでも解いていただけます。
単位体積当たりの質量を密度といい，逆に体積に密度を掛けると質量が得られます。水の質量をρl，氷の質量をρsとします。個体が液体中にあるとき，個体が押しのけた液体の体積に働く重力に等しい力を上向きに受けます。これを浮力といいます。たとえば，円柱型の氷が水に真っ直ぐに浮いているとき，水中にある氷の体積がVであるならば，氷は上向きにρlVgの力を受けます。gは重力加速度です。
「公式」：水中に体積Vを持つ氷は水から上向きにρlVgの浮力を受ける
また，氷自身も自らの重力を受け，その重力は氷の体積をVとすると，ρsVgであり，下向きに受けます。氷が水中に静止しているとき，氷に働く力が釣り合っています。
以下では，高さh，幅l，奥行きdの直方体型の氷(以下，特にこの寸法の氷を氷塊と呼びます)を用いるものとします。また，水は高さ十分，幅L，奥行きDの直方体型水槽に入れられており，氷塊を入れる前の水位はHとします。
(1)氷塊が水に浮いているとき，ρlとρsの関係を求めてください。
(2)氷塊が水底に沈んでいるとき，氷塊は重力，浮力のほかに底からの抗力Nを受けます。このようになるためのρlとρsの関係と，抗力Nの大きさを求めてください。
(3)(1)(2)以外のとき，ρlとρsの関係を求め，どのような現象がみられるでしょうか。
実際に起こるのは(1)です。これはρlとρsの間に(1)で求めた関係が成り立つからです。
(4)氷塊を水に浮かべたとき，水中に沈む深さxを求めてください。
(5)氷塊を浮かべたことで水位が上昇します。初期水位Hからの上昇量Xを求めてください。
次に，氷塊のうち水に触れている部分のいくらかが瞬時に融けたとします。その結果，水に触れていなかった氷塊上部からh-xの部分は元のまま，下部からxの部分は，小さくなり，高さx，幅l'，奥行きd'になったものとし，また，上部と下部の中心軸は一致して，安定的に真っ直ぐ浮くことができるとします(以下，この寸法の氷を下部欠損氷塊と呼びます)。なお，この氷塊の融けた部分は水槽の水にプラスされたものとします。
(6)氷塊が下部欠損氷塊になることで融けた部分の氷としての体積を求めてください。
(7)(6)で求めた体積の質量を求めてください。
(8)(7)で求めた質量がそのまま水になるとき，水としての体積を求めてください。
(8)で求めた水が水槽の水にプラスされることを忘れないでください。
(9)下部欠損氷塊を水に浮かべるとき，水面は上部側面にあるのか，下部側面にあるのかが問題となります。実は0＜l'＜l，0＜d'＜dであれば，具体的なl',d'の値によらず水面が上部にあるのか下部にあるのかは決まります。どちらなのか求めてください。
(10)(9)で答えた部分のうち水中に沈んでいる深さx'を求めてください(上部と答えたならば，上部のうち水中に沈んでいる深さ，下部と答えたならば，下部のうち水中に沈んでいる深さ)。
(11)下部欠損氷塊を浮かべることによる初期水位Hからの水位上昇X'を求めてください。この時，水槽中の水が増えていることに注意してください。
(12)X'の式の一部分にXで表される部分が含まれていれば，その部分をXとして，X'とXの関係を明確にしてください。
(13)(12)で得た式から判断して氷塊を浮かべたときと下部欠損氷塊を浮かべたときとでは，どちらの方が水位は高いでしょうか。
では，次の場合はどうでしょうか。すなわち，氷塊の融け方が異なって，今度は水に触れていた部分がそのままのx×l×bで，空気に触れていた部分が融けて(h-x)×l''×d''になったと考えるのです。この寸法の氷を上部欠損氷塊と呼びます。
(14)氷塊が下部欠損氷塊になることで融けた部分の氷としての体積を求めてください。
(15)(14)で求めた体積の質量を求めてください。
(16)(15)で求めた質量がそのまま水になるとき，水としての体積を求めてください。
(17)上部欠損氷塊を水に浮かべるとき，水面は上部側面にあるのか，下部側面にあるのかが問題となります。実は0＜l''＜l，0＜d''＜dであれば，具体的なl'',d''の値によらず水面が上部にあるのか下部にあるのかは決まります。どちらなのか求めてください。
(18)(17)で答えた部分のうち水中に沈んでいる深さx''を求めてください(上部と答えたならば，上部のうち水中に沈んでいる深さ，下部と答えたならば，下部のうち水中に沈んでいる深さ)。
(19)上部欠損氷塊を浮かべることによる初期水位Hからの水位上昇X''を求めてください。この時，水槽中の水が増えていることに注意してください。
(20)X''の式にXで表される部分が含まれていれば，その部分をXとして，X''とXの関係を明確にしてください。
(21)(20)で得た式から判断して氷塊を浮かべたときと上部欠損氷塊を浮かべたときとでは，どちらの方が水位は高いでしょうか。