ｸｲｽﾞ大陸

改めて計算しなおした結果を載せます．

(5)
(A(a,X)+C)(B(a,X)+D)=a
においてa=0のとき
C(S+D)=0
a=Xのとき
(S+C)D=X
である．ここにDは正定数(書き忘れてました)でS＞0であるから，C=0である．また，これを考慮すると，SD=XよりD=X/Sである．ここにS=F(X)-F(0)である．
よって関係式は解が存在するという仮定の下では
A(a,X)(B(a,X)+X/S)=a
と書いてよい．ここにA(a,X)=∫[0→a]f(x)dx，B(a,X)=∫[a→X]f(x)dxを代入して
∫[0→a]f(x)dx(∫[a→X]f(x)dx+X/S)=a　…(＊)
更に
(F(a)-F(0))(F(X)-F(a)+X/S)=a
と書ける．この両辺をaで微分して
f(a)(F(X)-F(a)+X/S)-f(a)(F(a)-F(0))=1
よって
1/f(a)=F(X)-2F(a)+F(0)+X/S
この両辺をaで微分して
-f'(a)/{f(a)}²=-2f(a)
∴f'(a)=2{f(a)}³
これを解くと
f(x)=1/√(-4x-2c)　(cは任意定数)
を得る．さてこれを元の条件式と同値な(＊)に代入して

{-√(-a-c/2)+√(-c/2)}{-√(-X-c/2)+√(-a-c/2)+X/S}=a
これがaに依存せずに成立すればよい．ここでS=-√(-X-c/2)+√(-c/2)を考慮すると，
{-√(-a-c/2)+√(-c/2)}{-√(-X-c/2)+√(-a-c/2)+X/(-√(-X-c/2)+√(-c/2))}=a
とも書けるが，実はこれ，恒等式なのである．すなわち，f(x)=1/√(-4x-2c)は
A(a,X)(B(a,X)+X/S)=a
を満たすのである．しかもcの任意性を損なうような条件は出てこなかった．よって，
f(x)=1/√(-4x-2c)
が求める解となるが，f(x)は実数関数でなければならないから，0≦x≦Xで根号内が正，すなわちc＜-2Xでなければならない．
∴f(x)=1/√(-4x-2c) (c＜-2X)