ｸｲｽﾞ大陸

解答発表

A(a)=∫[0→a]f(x)dx，B(a)=∫[a→X]f(x)dxである．　…(＊)

(1)
A(a,X)+C=a{B(a,X)+D}にa=0を代入すると，
A(0,X)+C=0
となるが，左辺第一項は∫[0→0]f(x)dxであるから零である．よって，C=0でなければならない．

(2)(3)
(1)より，A(a,X)=a{B(a,X)+D}であるから，ここに(＊)式を代入して
∫[0→a]f(x)dx=a{∫[a→X]f(x)dx+D}　…(＊＊)
となる．今，f(x)は微分可能な関数であるから積分可能でもあって，∫f(x)dx=F(x)と表すと，(＊＊)式の両辺は
F(a)-F(0)=a(F(X)-F(a)+D)
となる．この両辺をaで微分することにより
f(a)=F(X)-F(a)+D-af(a)
f(a)は微分可能なので更にaで微分して
f'(a)=-f(a)-f(a)-af'(a)
を得る．整理して
f'(a)/f(a)=-2/(1+a)
となるから，両辺をaで積分して
ln|f(a)|=ln{1/|1+a|^2}+α　(αは積分定数)
さて，今考えている領域はa≧0でかつ，f(a)はa≧0に於いて正値をとるので
ln{f(a)}=ln{1/(1+a)^2}+α
ここで，αを任意定数βを用いてlnβと書いてもよいから
ln{f(a)}=ln{1/(1+a)^2}+lnβ　⇔　ln{f(a)}=ln{β/(1+a)^2}
よって，求める関数の候補となる関数は
f(x)=β/(1+x)^2
である．これが与えられた諸条件を満たせば求めるべき解である．
A(a,X)=a{B(a,X)+D}
が成立する可能性があるか確かめる．
(左辺)=∫[0→a]f(x)dx=β{1-1/(1+a)}
(右辺)=∫[a→X]f(x)dx=aβ{1/(1+a)-1/(1+X)}+aD
これらが等しいとおいてβを求めると
β=aD/{1-1/(1+a)-a/(1+a)+a/(1+X)}=aD{a/(1+X)}=D(1+X)
このβはaに依存しないから，
f(x)=D(1+X)/(1+x)^2
が求めるべき関数である．

(4)
CA(a,X)+DB(a,X)=a
a=0を代入すると
CA(0,X)+DB(0,X)=0
となるが，左辺第一項は0であり，右辺第一項は，f(x)がx≧0で正値をとることからX＞0であれば正でなければならない．したがってD=0が示される．
よって
CA(a,X)=a，すなわちC∫[0→a]f(x)dx=a
となるA(a,X)=0を求めればない．これは
C{F(a)-F(0)}=a
と書け，両辺をaで微分すると
Cf(a)=1
よって，
f(a)=1/C
を得る．これが条件C∫[0→a]f(x)dx=aを満たすことを確かめるのはたやすい．

(5)
仮計算で一応解なしを得ていますが，正式な解答でない上，現在用意しているものをすべて書くには若干時間がかかるので，詳しくは後日書きます．根号がたくさん出てくるので書くのが大変です…

(6)
{A(a,X)}²+{B(a,X)}²=a²に
a=0を代入すると，
{A(0,X)}²+{B(0,X)}²=0
となり，左辺第一項は零なので第二項も零でなければならないが，
{B(0,X)}=∫[0→X]f(x)dx=0
であれば，明らかにf(x)は正値関数でない．よって，このような関数は存在しない．