ｸｲｽﾞ大陸

前回，確率の問題を出題したのになぜか消えてしまって悲しい朱雀です(泣)。新しい問題を創作したので挑戦してみてください。

紫字部分は元々はxと書いてありました。これでも正しいのですが，分かりやすさを向上させるためaに置き換えた部分です。
赤字部分は追記部分です。これがないと解けません。ご迷惑おかけました。赤太字部分も追記です。

x≧0において正値をとる微分可能な関数f(x)がx-y直交座標平面上になす曲線y=f(x)を考えます。Xをxの上限とし，これは任意に定められるものとします。さらに0≦a≦Xの範囲で任意にaを選ぶとき，直線x=0とx=a，曲線y=f(x)及びx軸に囲まれる面積をA(a,X)，直線x=aと直線x=X，曲線y=f(x)及びx軸に囲まれる面積をB(a,X)と表せば，常に
A(a,X)+C=a{B(a,X)+D}　(C,Dは正定数，0≦a≦X)　…(＊)
なる関係が成立するといいます。

(1)C=0を示し，
(2)その上で関数f(x)を求め，
(3)確かに以上に言及した諸性質を満足することを確認してください。

追加問題(こちらも解答は用意します)
(＊)の代わりに以下の関係があるとき，f(x)はどうなるでしょうか。
(4)CA(a,X)+DB(a,X)=a　(C,Dは定数)
(5)(A(a,X)+C)(B(a,X)+D)=a　(C,Dは定数)
(6){A(a,X)}²+{B(a,X)}²=a²
もちろん，解なしという答えもありですよ。

簡単な関数になりますよ^^
こんな関数にこんな性質があったなんて…
(2)に関してのみ勝手に君を使用しています。解答の式を
・できるだけ()でくくって　×　x^2+2x+1　→　○　(x+1)^2　×　a+ab　→ ○　a(b+1)
・足し算は文字，数字の順で　×　1+a　→　○　a+1
・掛け算は短いものから先に書いて　×　(c+d+1)a(b+1)　→　○　a(b+1)(c+d+1)
・掛け算記号は不要　割り算はスラッシュで　カッコはすべて小カッコ
を守ってくだされば，たぶん勝手に君は反応してくれると思います。