ｸｲｽﾞ大陸

なんかいつの間にか前の問題消えてたー(;o;)（出題ルール違反ではなく、例の不具合で消えた）
てなわけで性懲りもなく、また証明問題を出題してみます。
一応、前回の問題よりもちょっとは難しくなってる…ハズです
↓ちなみに、前回の問題はこちら（wikiからでも見れます）
http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=15681

問題

２桁以上のすべての自然数において、以下の手法が成立することを示せ。

ある自然数(何ケタでもいい)が11で割り切れるかどうかを暗算で見分けるには
自然数を最高位から2ケタづつに分け、足しあわせた合計が11の倍数になればよい。
また、最後に1ケタ余った場合、合計からその数を引いて11で割り切れるかどうかを調べればよい。
例) 9273→92+73=165→165=11×15なので9273は11で割り切れる
例2) 135802469→13+58+2+46-9=110（02は2とする）
　　　→110は明らかに11で割り切れるので135802469は11で割り切れる

かってに君は…まぁいつもどおりです。（算数・数学問題じゃ仕方ないよね）
それでは皆様からの解答をお待ちしております。
30分以内に解けなかったら、暴君ハバネロを(コメントで)一気食いすること。
↓このクイズの元ネタ（基本問題の算数・数学クイズQ2）
http://quiz-tairiku.com/math/q1.html#q2