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vipper
2012/01/29 00:25
＞河野様
x＝32,37,42,47… にも解は無いですね。何故無いのかは、実際に (x^2 + 1) と (x^3 + 2) へ [5n + 2] (2,7,12,17…) を代入してみれば証明するのは容易です。代入すると、
x^2 + 1 ＝ (25n^2 + 20n + 5) ＝ 5*(5n^2 + 4n + 1)
x^3 + 2 ＝(125n^3 + 150n^2 + 60n + 10) ＝ 5*(25n^3 + 30n^2 + 12n + 2) です。
y は x^2 + 1 で割ったときの余りが 2 でしたので、
y ＝ 5*(5n^2 + 4n + 1)*A ＋ 2 (Aは非負整数) … ① と表せる必要があります。
また、x^3 + 2 で割ったときの余りが 3 でしたので、
y ＝ 5*(25n^3 + 30n^2 + 12n + 2)*B ＋ 3 (Bは非負整数) …② と表せる必要があります。
ところで ① は y = [5の倍数] + 2 ですが ② は y = [5の倍数] + 3 となっていますので、①と②は同時に成立し得ません。従って、 x = 5n + 2 のときに解は存在しないことになります。
ちなみに x = 5n + 2 (2,7,12,17…) でなければ、(x^2 + 1) と (x^3 + 2) は必ず互いに素になります。またこの場合には必ず条件を満たすような y が存在します。ここら辺は不思議かもしれません。
ここを証明しようと思うと、「ユークリッド互除法」や「中国の剰余定理」を理解していないとなかなか難しいように思います。興味がありましたら一度調べてみて下さい。
x＝32,37,42,47… にも解は無いですね。何故無いのかは、実際に (x^2 + 1) と (x^3 + 2) へ [5n + 2] (2,7,12,17…) を代入してみれば証明するのは容易です。代入すると、
x^2 + 1 ＝ (25n^2 + 20n + 5) ＝ 5*(5n^2 + 4n + 1)
x^3 + 2 ＝(125n^3 + 150n^2 + 60n + 10) ＝ 5*(25n^3 + 30n^2 + 12n + 2) です。
y は x^2 + 1 で割ったときの余りが 2 でしたので、
y ＝ 5*(5n^2 + 4n + 1)*A ＋ 2 (Aは非負整数) … ① と表せる必要があります。
また、x^3 + 2 で割ったときの余りが 3 でしたので、
y ＝ 5*(25n^3 + 30n^2 + 12n + 2)*B ＋ 3 (Bは非負整数) …② と表せる必要があります。
ところで ① は y = [5の倍数] + 2 ですが ② は y = [5の倍数] + 3 となっていますので、①と②は同時に成立し得ません。従って、 x = 5n + 2 のときに解は存在しないことになります。
ちなみに x = 5n + 2 (2,7,12,17…) でなければ、(x^2 + 1) と (x^3 + 2) は必ず互いに素になります。またこの場合には必ず条件を満たすような y が存在します。ここら辺は不思議かもしれません。
ここを証明しようと思うと、「ユークリッド互除法」や「中国の剰余定理」を理解していないとなかなか難しいように思います。興味がありましたら一度調べてみて下さい。