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vipper
2012/01/28 14:53
３以上のある整数 x に対して問題(2)を満たすような最小の y は、
y ＝ {f(x) * (x^3 + 2) + 60} * x * (x^2 + 1)/(10 * (x - 2)) ＋ (x^4 + 2x^3 + 2x + 1)
x mod 10 = 0 or 5 のとき f(x) ＝ 2 * (x - 5)
x mod 10 = 1 or 6 のとき f(x) ＝ 2 * (2x - 7)
x mod 10 = 2 or 7 のとき 解なし
x mod 10 = 3 のとき f(x) ＝ 2 * (3x - 9)
x mod 10 = 4 のとき f(x) ＝ 3x - 12
x mod 10 = 8 のとき f(x) ＝ x - 8
x mod 10 = 9 のとき f(x) ＝ 2 * (4x - 11)
(a mod b は、a を b で割ったときの余り。)
と書けると思われます。(x^2 + 1) と (x^3 + 2) は、[x = (5n + 2) : nは非負整数] のとき、共に５の倍数となって解がなくなります。また、x と (x^3 + 2) は、x が奇数であれば互いに素ですが、x が偶数であれば共に２の倍数となり若干状況が違ってきます。
従って、x = 10n + 1 , 10n + 2 , 10n + 3 , … と場合分けをすることにより問題を解いています。場合分けをしないでスッキリ纏めることが出来るかどうかは解かりません。
また x が奇数であれば上述の式に、x * (x^2 + 1) * (x^3 + 2) を加えていった値も題意を満たします。x が偶数であれば x * (x^2 + 1) * (x^3 + 2) / 2 を加えていった値が題意を満たします。そして題意を満たすような(x , y)の組み合わせは、これ以外に存在しないはずです。
以下にVBAプログラムで総当たり的に解を求めた結果を貼っておきます(x = 31 まで)。以下の数値と上に挙げた式が一致することを確認済みです。
<tt>
x ＝ 3 のとき y ＝ 322
x ＝ 4 のとき y ＝ 597
x ＝ 5 のとき y ＝ 1146
x ＝ 6 のとき y ＝ 14173
x ＝ 8 のとき y ＝ 5657
x ＝ 9 のとき y ＝ 394012
x ＝ 10 のとき y ＝ 139281
x ＝ 11 のとき y ＝ 614516
x ＝ 13 のとき y ＝ 2684982
x ＝ 14 のとき y ＝ 1938679
x ＝ 15 のとき y ＝ 1820206
x ＝ 16 のとき y ＝ 6093729
x ＝ 18 のとき y ＝ 2251927
x ＝ 19 のとき y ＝ 36232944
x ＝ 20 のとき y ＝ 10874721
x ＝ 21 のとき y ＝ 31892512
x ＝ 23 のとき y ＝ 85073482
x ＝ 24 のとき y ＝ 52580281
x ＝ 25 のとき y ＝ 42958626
x ＝ 26 のとき y ＝ 116524565
x ＝ 28 のとき y ＝ 37782837
x ＝ 29 のとき y ＝ 463989996
x ＝ 30 のとき y ＝ 131202721
x ＝ 31 のとき y ＝ 338001588
</tt>
y ＝ {f(x) * (x^3 + 2) + 60} * x * (x^2 + 1)/(10 * (x - 2)) ＋ (x^4 + 2x^3 + 2x + 1)
x mod 10 = 0 or 5 のとき f(x) ＝ 2 * (x - 5)
x mod 10 = 1 or 6 のとき f(x) ＝ 2 * (2x - 7)
x mod 10 = 2 or 7 のとき 解なし
x mod 10 = 3 のとき f(x) ＝ 2 * (3x - 9)
x mod 10 = 4 のとき f(x) ＝ 3x - 12
x mod 10 = 8 のとき f(x) ＝ x - 8
x mod 10 = 9 のとき f(x) ＝ 2 * (4x - 11)
(a mod b は、a を b で割ったときの余り。)
と書けると思われます。(x^2 + 1) と (x^3 + 2) は、[x = (5n + 2) : nは非負整数] のとき、共に５の倍数となって解がなくなります。また、x と (x^3 + 2) は、x が奇数であれば互いに素ですが、x が偶数であれば共に２の倍数となり若干状況が違ってきます。
従って、x = 10n + 1 , 10n + 2 , 10n + 3 , … と場合分けをすることにより問題を解いています。場合分けをしないでスッキリ纏めることが出来るかどうかは解かりません。
また x が奇数であれば上述の式に、x * (x^2 + 1) * (x^3 + 2) を加えていった値も題意を満たします。x が偶数であれば x * (x^2 + 1) * (x^3 + 2) / 2 を加えていった値が題意を満たします。そして題意を満たすような(x , y)の組み合わせは、これ以外に存在しないはずです。
以下にVBAプログラムで総当たり的に解を求めた結果を貼っておきます(x = 31 まで)。以下の数値と上に挙げた式が一致することを確認済みです。
<tt>
x ＝ 3 のとき y ＝ 322
x ＝ 4 のとき y ＝ 597
x ＝ 5 のとき y ＝ 1146
x ＝ 6 のとき y ＝ 14173
x ＝ 8 のとき y ＝ 5657
x ＝ 9 のとき y ＝ 394012
x ＝ 10 のとき y ＝ 139281
x ＝ 11 のとき y ＝ 614516
x ＝ 13 のとき y ＝ 2684982
x ＝ 14 のとき y ＝ 1938679
x ＝ 15 のとき y ＝ 1820206
x ＝ 16 のとき y ＝ 6093729
x ＝ 18 のとき y ＝ 2251927
x ＝ 19 のとき y ＝ 36232944
x ＝ 20 のとき y ＝ 10874721
x ＝ 21 のとき y ＝ 31892512
x ＝ 23 のとき y ＝ 85073482
x ＝ 24 のとき y ＝ 52580281
x ＝ 25 のとき y ＝ 42958626
x ＝ 26 のとき y ＝ 116524565
x ＝ 28 のとき y ＝ 37782837
x ＝ 29 のとき y ＝ 463989996
x ＝ 30 のとき y ＝ 131202721
x ＝ 31 のとき y ＝ 338001588
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