ｸｲｽﾞ大陸

では正解を発表していきたいと思います。図がありませんので少々不親切かもしれませんが、紙とペンを用意して実際に描いて頂くと解り易くなると思います。また、数学的に誤っているところ、解りにくいところがあれば知らせて頂ければ幸いです。

問1 : 直角三角形の斜辺の長さをcとし、その他の辺の長さをa,bとしたとき、「a^2 + b^2 = c^2」が成り立つことを証明せよ。
　[1] 「相似」を用いた証明法。
∠C = 90°の直角三角形ABCを用意します。ここで、辺BC、CA、ABそれぞれの長さをa、b、cとします。
頂点Cから辺ABに垂線を降ろし、その足をHとします。ここで△ABCと△ACHを較べると∠Aを共有しており、∠ACB = ∠AHC = 90°ですから2つの角の大きさが等しく(とすると当然残りの角の大きさも同じなので)相似であることが解ります。
従って、AC : AH = AB : AC が言えて AH = AC^2/AB = b^2/c …�@　となります。
次に△ABCと△CBHを較べれば、同様の方法でこの2つは相似(△ABC∽ △CBH)であることが解ります。よって、AB : CB = BC : BH より　BH = BC^2/AB = a^2/c　… �A
AH + BH = AB = c ですから、これに�@と�Aを用いて (b^2/c) + (a^2/c) = c　となりまして　b^2 + a^2 = c^2 が導ける訳です。(証明終わり)

　[2] 合同な直角三角形を4枚用いる方法。
∠C = 90°、BC = a、CA = b、AB = c の直角三角形ABCを用意し、これを組み合わせて一辺が "a+b" の大きな正方形を作ることを考えます。