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アーベル◆0mBTVqT3Z6I
2011/12/03 05:15
問5 : 半径rの球の表面積は 4πr^2 であり、体積は (4πr^3)/3 で与えられることを証明せよ。
x^2 + y^2 + z^2 ≦ r^2 で表される球を考えます。 x = t (−r≦t≦r) という平面で球を切断して出来る、切断面の円の半径は三平方の定理を考えれば √(r^2 - t^2) と書けます。つまり切断面の面積は、(r^2 - t^2)*π です。従って、V = ∫[x : −r → r] (r^2 - t^2)*π dx = (4πr^3)/3 となります。
球の表面積について。まず半径 r の球の体積と表面積を V(r) 及び S(r) で表すとします。
δr(＞0) はrに比べて非常に小さい数とすると、半径 r+δr の球の体積 V(r+δr) と、半径 r の球の体積 V(r) の差を δr で割ったものが S(r) に近似出来るような、気が、なんとなくしてくると。もちろん実際には値にズレがありますが、δr→0 の極限では等しくなります。
従って、S(r) = lim[δr→0] {V(r+δr) - V(r)}/δr = dV(r)/dr = 4πr^2 (証明終わり。)
x^2 + y^2 + z^2 ≦ r^2 で表される球を考えます。 x = t (−r≦t≦r) という平面で球を切断して出来る、切断面の円の半径は三平方の定理を考えれば √(r^2 - t^2) と書けます。つまり切断面の面積は、(r^2 - t^2)*π です。従って、V = ∫[x : −r → r] (r^2 - t^2)*π dx = (4πr^3)/3 となります。
球の表面積について。まず半径 r の球の体積と表面積を V(r) 及び S(r) で表すとします。
δr(＞0) はrに比べて非常に小さい数とすると、半径 r+δr の球の体積 V(r+δr) と、半径 r の球の体積 V(r) の差を δr で割ったものが S(r) に近似出来るような、気が、なんとなくしてくると。もちろん実際には値にズレがありますが、δr→0 の極限では等しくなります。
従って、S(r) = lim[δr→0] {V(r+δr) - V(r)}/δr = dV(r)/dr = 4πr^2 (証明終わり。)