解答作るの結構しんどいですね
書き易いところからやっていきます。
問4 : Σ[k = 1〜n] k^3 = {n*(n+1)/2}^2 となることを証明せよ。 [1] 帰納法による証明。(実際には帰納ではなく演繹しています。)
<< 1 >> n = 1 のとき、式が成立していることを示す。n = 1 のとき 1^3 = (1*2/2)^2 = 1 となり、確かに成り立っている。
<< 2 >> n'を自然数とし n = n' のときに式が成立していれば、 n = n' + 1 でも式が成立することを示す。 Σ[k = 1〜n'+1] k
3 = (Σ[k = 1〜n'] k
3) + (n'+ 1)
3 = {n'*(n'+ 1)/2}
2 + (n'+ 1)
3= (n'+ 1)
2*{(n'/2)
2+ (n'+ 1)} = (n'+ 1)
2*(n'
2+ 4n'+ 4)/4 = {(n'+ 1)*(n'+ 2)/2}
2のように式を変形していくと、<< 2 >> が正しいことが確認出来る。
<< 1 >>と<< 2 >> より全ての自然数nに対して、Σ[k = 1〜n] k^3 = {n*(n+1)/2}^2 が成立すると言える。(証明終わり)
[2]図式して証明する方法。 1 + 2 + 3 + … + n = n*(n+1)/2 は前提として使います。以下のような図を考える。
<tt></tt>
１ ２ ３ ４……ｎ
２ ４ ６ ８……2n
３ ６ ９ 12……3n
…………………
ｎ 2n 3n 4n……n^2
<tt></tt>
問4 : Σ[k = 1〜n] k^3 = {n*(n+1)/2}^2 となることを証明せよ。
[1] 帰納法による証明。(実際には帰納ではなく演繹しています。)
<< 1 >> n = 1 のとき、式が成立していることを示す。
n = 1 のとき 1^3 = (1*2/2)^2 = 1 となり、確かに成り立っている。
<< 2 >> n'を自然数とし n = n' のときに式が成立していれば、 n = n' + 1 でも式が成立することを示す。
Σ[k = 1〜n'+1] k3 = (Σ[k = 1〜n'] k3) + (n'+ 1)3 = {n'*(n'+ 1)/2}2 + (n'+ 1)3
= (n'+ 1)2*{(n'/2)2+ (n'+ 1)} = (n'+ 1)2*(n'2+ 4n'+ 4)/4 = {(n'+ 1)*(n'+ 2)/2}2
のように式を変形していくと、<< 2 >> が正しいことが確認出来る。
<< 1 >>と<< 2 >> より全ての自然数nに対して、Σ[k = 1〜n] k^3 = {n*(n+1)/2}^2 が成立すると言える。(証明終わり)
[2]図式して証明する方法。
1 + 2 + 3 + … + n = n*(n+1)/2 は前提として使います。以下のような図を考える。
<tt></tt>
１ ２ ３ ４……ｎ
２ ４ ６ ８……2n
３ ６ ９ 12……3n
…………………
ｎ 2n 3n 4n……n^2
<tt></tt>