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アーベル◆0mBTVqT3Z6I
2011/12/03 05:14
問3 : 底面積がS、高さがhの円錐あるいは多角錐の体積は (h*S)/3 で与えられることを証明せよ。
[1] 積分公式 V = ∫[x : a→b] S(x) dx を用いる方法。
xyz直交空間座標系で、錐体の頂点を原点に、錐体の底面を x = h で表される平面上に重ねます。また、この立体を x = t (0≦t≦h) で切って出来る錐体を考えます。
切って出来る錐体はもとの錐体を原点に向かって t/h 倍に縮小したものだと、みなすことが出来ます。辺の長さが全て t/h 倍になっていますので、底面積はもとの推体の (t/h)^2 倍になっています。すなわち x = t 平面での切断面の面積は、S*(t/h)^2 となります。
従って体積は、∫[x : 0→h] S*(x/h)^2 dx = S*h/3 (証明終わり)
[2] 区分求積法による証明。
問4 でまた示しますが、ここでは Σ k^2 = n*(n+1)*(2n+1)/6 = (n^3)/3 + (n^2)/2 + n/6 が成立することは前提として使います。[1][2]と分けていますが、[2]は[1]の積分公式が出てくる根拠のようなものです。
[1]と同様にして、xyz直交空間座標系で錐体の頂点を原点に、錐体の底面を x = h で表される平面に重ねます。これを野菜を輪切りにするのと同じように、x軸に対して垂直にかつ幅の長さが h/n と均等になるように、推体を n 個に切り分けます。
x 軸の正の方向を右側だとすると、この切り分けられた n 個の立体のうち左から数えて k (1≦k≦n) 番目にある立体の体積は、n が非常に大きければ {S*(k/n)^2}*(h/n) で近似出来るような、気が、するよね、ということなんですね。でこれを全部足し合わせていくと、元の体積の値が求められるような気分になってくると、ま、詳しくは高校数学Ⅲでじっくり勉強して頂くとして、体積Vは、
V = lim[n→∞] Σ[k = 1～n] {S*(k/n)^2}*(h/n)
= lim[n→∞] S*h*{(1/3) + (1/2n) + (1/6n^2)} = S*h/3 (証明終わり)
[1] 積分公式 V = ∫[x : a→b] S(x) dx を用いる方法。
xyz直交空間座標系で、錐体の頂点を原点に、錐体の底面を x = h で表される平面上に重ねます。また、この立体を x = t (0≦t≦h) で切って出来る錐体を考えます。
切って出来る錐体はもとの錐体を原点に向かって t/h 倍に縮小したものだと、みなすことが出来ます。辺の長さが全て t/h 倍になっていますので、底面積はもとの推体の (t/h)^2 倍になっています。すなわち x = t 平面での切断面の面積は、S*(t/h)^2 となります。
従って体積は、∫[x : 0→h] S*(x/h)^2 dx = S*h/3 (証明終わり)
[2] 区分求積法による証明。
問4 でまた示しますが、ここでは Σ k^2 = n*(n+1)*(2n+1)/6 = (n^3)/3 + (n^2)/2 + n/6 が成立することは前提として使います。[1][2]と分けていますが、[2]は[1]の積分公式が出てくる根拠のようなものです。
[1]と同様にして、xyz直交空間座標系で錐体の頂点を原点に、錐体の底面を x = h で表される平面に重ねます。これを野菜を輪切りにするのと同じように、x軸に対して垂直にかつ幅の長さが h/n と均等になるように、推体を n 個に切り分けます。
x 軸の正の方向を右側だとすると、この切り分けられた n 個の立体のうち左から数えて k (1≦k≦n) 番目にある立体の体積は、n が非常に大きければ {S*(k/n)^2}*(h/n) で近似出来るような、気が、するよね、ということなんですね。でこれを全部足し合わせていくと、元の体積の値が求められるような気分になってくると、ま、詳しくは高校数学Ⅲでじっくり勉強して頂くとして、体積Vは、
V = lim[n→∞] Σ[k = 1～n] {S*(k/n)^2}*(h/n)
= lim[n→∞] S*h*{(1/3) + (1/2n) + (1/6n^2)} = S*h/3 (証明終わり)