ｸｲｽﾞ大陸

大変初歩的な算数・数学で登場するものでも、いざ何故か？と問われると何だろう？と閉口してしまうことはしばしば起こることではないでしょうか。そんなことを想定しながら5つ問題を出してみたいと思います。

問1 : 直角三角形の斜辺の長さをcとし、その他の辺の長さをa,bとしたとき、「a^2 + b^2 = c^2」が成り立つことを証明せよ。
(回答の際ネットで調べたことをまる写しするのは止めましょう。もしそうしたいのであれば、必ず参考にしたサイトや出典先を明記して下さい。今何も見ないで証明が書けた、というのであれば勿論囁いてもらって構いません。)

問2 : ある円の一定の弧に対する円周角の大きさは、常に一定であることを証明せよ。
(中学2年か3年で出てくるあの定理です。「中心角 = 2 * 円周角」を用いる人はその証明をお願いします。正弦定理を持ち出したい人は、そもそも正弦定理がどうやって出てきたものなのか考えてみて下さい。)

問3 : 底面積がS、高さがhの円錐あるいは多角錐の体積は (h*S)/3 で与えられることを証明せよ。
(これも中学生で出てくるものだったと思います。こちらが用意している解答は積分あるいは極限の概念を含むものですが、もっと簡単な方法があれば是非教えて頂きたく。円錐に水を3杯汲んで同じ高さ・底面積の円柱に注いだらピッタリになるのです、などと言う説明を良く聞きますがそれは数学的な証明ではありません。数学上の公理から出発して結論を導いて下さい。)

問4 : 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + …… + n^3 = {n*(n+1)/2}^2 となることを証明せよ。
(公式として出てくるのは恐らく高校数学の範囲です。しかし中学生でも理解し得る説明は、十分に可能であると思います。左辺は正確に書けば Σ[k = 1〜n] k^3 、 nは任意の自然数です。)

問5 : 半径rの球の表面積は 4πr^2 であり、体積は (4πr^3)/3 で与えられることを証明せよ。
(こちらも中学数学で登場するはずです。けれども私の知っている限り証明にはそこそこ難しい数学を要求します。無論、簡単な証明方法があるのだという場合は是非教えて頂きたく存じます。)

12/4(日)夜頃に解答を発表します。