ｸｲｽﾞ大陸

nを3以上の整数とします。
n個の箱があり、それぞれに1,2,3,・・・と順に番号がついています。
これらの箱を使ってA君とB君がゲームをしようとしています。

ゲームのルール
テーブルを2つに区切って片方を区画1、他方を区画2とします。
すべての箱を区画1に置きます。
箱の番号の最大値＜k＜すべての箱の番号の合計
を満たす自然数kをランダムに決めます。

A君、B君の順に交互に、区画1から箱を一個取って区画2に移します。
A君が箱を移動した際に、区画2にある箱の番号の合計がkに等しくなればA君の勝ちです。
(もちろんA君が移動した箱の番号も合計に加えます)
A君が勝てない場合はB君の勝ちです。
つまり、A君の番で合計がkを超えたり、B君の番で合計がk以上となればB君の勝ちです。


A君、B君が最善を尽くした場合にA君が勝つことになるkの値はいくつあるでしょうか。
nの式で表してください(場合分けをしてはいけません)。
a,bが自然数のときにmod(a,b)はaをbで割った余りを表すものとします。