ｸｲｽﾞ大陸

1,2,3,4,5,6,7枠のカードの数字をそれぞれa,b,c,d,e,f,gとします。
1枠とn枠を交換する操作をKnと書くことにします。
まず1,2,3枠のカード、a,b,cについてのみ考えます。
K2,K3,K2,K3,K2と操作をすると、その3枚のカードの並びは、
abc>bac>cab>acb>bca>cba
と変化し、a,b,cのすべての順列が現れます。
最後は、最初の状態の1枠と3枠が交換された順列になります。
つまり、K2,K3,K2,K3,K2という操作と操作K3は結果が同じになります。

abcに対してK3,K2,K3,K2,K3と操作をすると、
abc>cba>bca>acb>cab>bac
と変化し、a,b,cのすべての順列が現れます。
最後は1枠と2枠が交換された順列になります。
K3,K2,K3,K2,K3とK2は結果が同じになります。
K2,K3,K2,K3,K2の操作をA3、K3,K2,K3,K2,K3の操作をA2とします。

次に1,2,3,4枠のカード、a,b,c,dについて考えます。
A2,K4,A3,K4,A2,K4,A2と操作をすると、K2,K4,K3,K4,K2,K4,K2と同じ結果になりますので
abcd>bacd>dacb>cadb>badc>abdc>cbda>bcda
と変化します。
4枠にはa,b,c,dの4種類が現れます。
A2,A3の操作中には1,2,3枠のすべての順列が現れますので、
この一連の操作によりabcdのすべての順列が現れます。
この操作をBとします。

A3,K4,A2,K4,A3,K4,A3と操作をすると、
K3,K4,K2,K4,K3,K4,K3と同じ結果になりますので
abcd>cbad>dbac>bdac>cdab>adcb>bdca>cdba
この場合もabcdのすべての順列が現れます。
この操作をCとします。

1,2,3,4,5枠のカード、a,b,c,d,eについて考えます。
B,K5,C,K5,B,K5,B,K5,Cという操作をDとします。
abcde>bcdae>ecdab>daceb>baced>acebd>dceba>cebda>aebdc>bdeac
この操作Dによりabcdeのすべての順列が現れます。
C,K5,B,K5,C,K5,C,K5,Bという操作をEとします。
abcde>cdbae>edbac>dbaec>cbaed>aebcd>debca>bceda>acedb>cedab
この操作Eによりabcdeのすべての順列が現れます。

1,2,3,4,5,6枠のカード、a,b,c,d,e,fについて考えます。
D,K6,D,K6,D,K6,E,K6,D,K6,Dという操作をFとします。
abcdef>bdeacf>fdeacb>dacfeb>bacfed>afebcd>dfebca
>ecbdfa>acbdfe>cdfabe>edfabc>dabefc
この一連の操作によりabcdefのすべての順列が現れます。

abcdefgに対してF,K7,F,K7,F,K7,F,K7,F,K7,F,K7,Fという操作Gをします。
abcdefg>dabefcg>gabefcd>egafcbd>dgafcbe>fdgcbae>edgcbaf
>cedbagf>fedbagc>bfeagdc>cfeagdb>acfgdeb>bcfgdea>gbcdefa
この一連の操作によりabcdefgのすべての順列が現れます。
さらに操作K7を行うと最初の順列に戻ります。
これですべての順列に番号をつけることができます。