ｸｲｽﾞ大陸
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No. 28
黒飴
2011/09/27 00:00
53人のときに不可能なことを言うだけであれば
元のケーキの大きさをN，二種類のケーキの大きさをA,B（A,B,N：自然数）
A,Bは互いに素としてよい．
53(A+B)=10N
左辺に53の因数があるのでN=53nとおけて
A+B=10n①
A,B互いに素ゆえA,nも互いに素．
二種類のケーキを幾つかずつ集めて元のケーキに戻せる．
非負整数i,jを用いて
iA+jB=N=53n②
i≧jとなるような元のケーキがないとBのケーキの方が多くなって分配不可能．
少なくとも一つはi≧jなるケーキがあり，そのようなi,jに対して①②より
(i-j)A=n(53-10j)
左辺非負で53-10j≧0
53-10j=3,13,23,33,43,53
A，n互いに素ゆえAは53-10jの約数．
同様のことはBにも言え，A,Bがとりうる値の一の位は1,3のいずれかだが①よりA+Bの一の位が0で矛盾．
返信
宇奈月
なるほど！
最初にA,Bが有理数になることを示す必要があると思いますが、なかなかシンプルでいいですね
ありがとうございました。
宇奈月
元のケーキの大きさをN，二種類のケーキの大きさをA,B（A,B,N：自然数）
A,Bは互いに素としてよい．
53(A+B)=10N
左辺に53の因数があるのでN=53nとおけて
A+B=10n①
A,B互いに素ゆえA,nも互いに素．
二種類のケーキを幾つかずつ集めて元のケーキに戻せる．
非負整数i,jを用いて
iA+jB=N=53n②
i≧jとなるような元のケーキがないとBのケーキの方が多くなって分配不可能．
少なくとも一つはi≧jなるケーキがあり，そのようなi,jに対して①②より
(i-j)A=n(53-10j)
左辺非負で53-10j≧0
53-10j=3,13,23,33,43,53
A，n互いに素ゆえAは53-10jの約数．
同様のことはBにも言え，A,Bがとりうる値の一の位は1,3のいずれかだが①よりA+Bの一の位が0で矛盾．