ｸｲｽﾞ大陸

そろそろ閉めましょう。解答発表です。

x ＝ sin θ　(−π/2 <tt>≦</tt> θ <tt>≦</tt> π/2) とおくと、
　　z ＝ 3 sin θ ＋ 4 sin³ θ ＝ sin 3θ
　　y ＝ 3 sin 3θ ＋ 4 sin³ 3θ ＝ sin 9θ
　　x ＝ 3 sin 9θ ＋ 4 sin³ 9θ ＝ sin 27θ
となるため、方程式 sin θ ＝ sin 27θ を得る。これは、
　　sin 27θ − sin θ ＝ 0
　　2 cos 14θ sin 13θ ＝ 0
　　cos 14θ ＝ 0,　sin 13θ ＝ 0
と変形できる。cos 14θ ＝ 0 の解は異なる 14 個、sin 13θ ＝ 0 の解は異なる 13 個存在するので、上の方程式の異なる解は 27 個存在する。この 27 個の解 θ に対し、
　　(x, y, z) ＝ (sin θ, sin 9θ, sin 3θ)
の組は全て異なるので、題意は示された。

式の右辺が三角関数の 3 倍角の公式をしていることに気づき、x ＝ sin θ とおくことができれば、この問題は簡単でした。厳密には、−1 <tt>≦</tt> x <tt>≦</tt> 1 を証明しなければいけませんが。