面白い関数(1) ≫No. 1
メーベ
2011/02/19 20:29
<tt>
注意
eを自然対数の底とする。exp{k(x)}はek(x)を意味する。
ln(x)はxの自然対数をとったもの，つまりeを底としたlogxである。
arctan(x)はtan(x)の逆関数で，全区間で定義され，値域は-π/2＜arctan(x)＜π/2，(d/dx)arctan(x)＝1/(1+x2)である。
関数f(x)＝exp{ln(x+1)+arctan(x)}/exp{ln(2)+arctan(1)}の値を計算機を用いずに求めることは容易ではないが，おおよその値を知るだけであるならば，f(x)≒xとすることができる。
問１
f(x)≠0を示せ。
f(x)≒xとするのがどれほど正確であるかを調べよう。g(x)＝|f(x)-x|/xをf(x)が定義されるすべてのx≠0に対して定義することができる。g(x)の意味するところは，絶対誤差のxに対する割合で，この値が小さいほど，相対誤差的観点からすれば正確である。また，問１の結果から，f(x)が定義されるすべてのxに対して，h(x)＝|f(x)-x|/f(x)を定義することができる。こちらは，絶対誤差のf(x)に対する割合である。
問２
f(1)＝1を示せ。
問２の結果から，g(1)＝h(1)＝0であるから，f(x)≒xという近似式はx＝1においては完全な等式になる。
問３
lim[x→-1+0]f(x)を求め，それを用いてlim[x→-1+0]g(x)，lim[x→-1+0]h(x)を求めよ。
問３から，x→-1+0の時，f(x)≒xという近似式は相対誤差の観点からすれば，まったく正確でないことがわかる。次に，絶対誤差的な観点から考えてみよう。i(x)＝|f(x)-x|を定義しよう。
問４
-1＜x＜1に対して，i(x)＜2を示せ。
問４の不等式は，(-1,1)では相対誤差は大きくなっても，絶対誤差は2未満であることを意味している。では再び，相対誤差の観点に戻ろう。次にx＞1の区間について考える。
問５
1＜xがに対して，g(x)＜0.1，h(x)＜0.1，つまり，xから見たf(x)のずれ，f(x)から見たxのずれはともに10%未満であることを示せ。更に，h(x)＜g(x)を示せ。
問５で示したようにx＞1の区間においては，相対誤差は10%未満であり，近似式f(x)≒xはまずまずの精度を持っている。xが大きい区間では，たとえ絶対誤差が大きくても，相対誤差が小さければ大体の値を知るにはあまり問題ない。一方で，問４で示したように-1＜x＜1の区間では相対誤差は大きくなるが，絶対誤差は2未満と必ずしも小さくはないものの，まったくかけ離れた結果でもない。実際，これらのグラフ，つまりy＝f(x)とy＝xのグラフを広い区間で描いて重ねてみるとほとんど一致する。
補足１
厳密には解けない問題もあると思います。解答はどんな手段を使ってもらっても構いません。色んな関数があるんだなぁ，と楽しんでいただければ。
補足２
Excelにより最小二乗法を用いて近似曲線を求めると，y＝1.0989x-0.0762と算出され，y＝xとほぼ同じ結果が返ってくる。
補足３
f(x)＝exp{ln(x+1)+arctan(x)}/exp{ln(2)+arctan(1)}は変形すると，f(x)＝exp{ln(x+1)}*exp{arctan(x)}/exp{ln(2)+arctan(1)}＝(x+1)exp{arctan(x)}/exp{ln(2)+arctan(1)}である。ここで分子のexp{arctan(x)}を取り払って新しい関数F(x)とすると，F(x)＝(x+1)/exp{ln(2)+arctan(1)}は傾き1/exp{ln(2)+arctan(1)}，y切片が1/exp{ln(2)+arctan(1)}である直線となる。従って，F(x)にexp{arctan(x)}を掛けることは，特にxの大きい区間において，y切片が1/exp{ln(2)+arctan(1)}の直線からy切片が0の(ほぼ)直線に変える効果を持つ。ただし，同時に傾きも変わってしまう。
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注意
eを自然対数の底とする。exp{k(x)}はek(x)を意味する。
ln(x)はxの自然対数をとったもの，つまりeを底としたlogxである。
arctan(x)はtan(x)の逆関数で，全区間で定義され，値域は-π/2＜arctan(x)＜π/2，(d/dx)arctan(x)＝1/(1+x2)である。
関数f(x)＝exp{ln(x+1)+arctan(x)}/exp{ln(2)+arctan(1)}の値を計算機を用いずに求めることは容易ではないが，おおよその値を知るだけであるならば，f(x)≒xとすることができる。
問１
f(x)≠0を示せ。
f(x)≒xとするのがどれほど正確であるかを調べよう。g(x)＝|f(x)-x|/xをf(x)が定義されるすべてのx≠0に対して定義することができる。g(x)の意味するところは，絶対誤差のxに対する割合で，この値が小さいほど，相対誤差的観点からすれば正確である。また，問１の結果から，f(x)が定義されるすべてのxに対して，h(x)＝|f(x)-x|/f(x)を定義することができる。こちらは，絶対誤差のf(x)に対する割合である。
問２
f(1)＝1を示せ。
問２の結果から，g(1)＝h(1)＝0であるから，f(x)≒xという近似式はx＝1においては完全な等式になる。
問３
lim[x→-1+0]f(x)を求め，それを用いてlim[x→-1+0]g(x)，lim[x→-1+0]h(x)を求めよ。
問３から，x→-1+0の時，f(x)≒xという近似式は相対誤差の観点からすれば，まったく正確でないことがわかる。次に，絶対誤差的な観点から考えてみよう。i(x)＝|f(x)-x|を定義しよう。
問４
-1＜x＜1に対して，i(x)＜2を示せ。
問４の不等式は，(-1,1)では相対誤差は大きくなっても，絶対誤差は2未満であることを意味している。では再び，相対誤差の観点に戻ろう。次にx＞1の区間について考える。
問５
1＜xがに対して，g(x)＜0.1，h(x)＜0.1，つまり，xから見たf(x)のずれ，f(x)から見たxのずれはともに10%未満であることを示せ。更に，h(x)＜g(x)を示せ。
問５で示したようにx＞1の区間においては，相対誤差は10%未満であり，近似式f(x)≒xはまずまずの精度を持っている。xが大きい区間では，たとえ絶対誤差が大きくても，相対誤差が小さければ大体の値を知るにはあまり問題ない。一方で，問４で示したように-1＜x＜1の区間では相対誤差は大きくなるが，絶対誤差は2未満と必ずしも小さくはないものの，まったくかけ離れた結果でもない。実際，これらのグラフ，つまりy＝f(x)とy＝xのグラフを広い区間で描いて重ねてみるとほとんど一致する。
補足１
厳密には解けない問題もあると思います。解答はどんな手段を使ってもらっても構いません。色んな関数があるんだなぁ，と楽しんでいただければ。
補足２
Excelにより最小二乗法を用いて近似曲線を求めると，y＝1.0989x-0.0762と算出され，y＝xとほぼ同じ結果が返ってくる。
補足３
f(x)＝exp{ln(x+1)+arctan(x)}/exp{ln(2)+arctan(1)}は変形すると，f(x)＝exp{ln(x+1)}*exp{arctan(x)}/exp{ln(2)+arctan(1)}＝(x+1)exp{arctan(x)}/exp{ln(2)+arctan(1)}である。ここで分子のexp{arctan(x)}を取り払って新しい関数F(x)とすると，F(x)＝(x+1)/exp{ln(2)+arctan(1)}は傾き1/exp{ln(2)+arctan(1)}，y切片が1/exp{ln(2)+arctan(1)}である直線となる。従って，F(x)にexp{arctan(x)}を掛けることは，特にxの大きい区間において，y切片が1/exp{ln(2)+arctan(1)}の直線からy切片が0の(ほぼ)直線に変える効果を持つ。ただし，同時に傾きも変わってしまう。
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