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integers
2011/01/20 19:44
F(a),F(b),F(c) (a＜b＜c) が等差数列をなしているとすると
2F(b)=F(a)+F(c) …① が成立
明らかに0＜F(n)≦F(n+1)なので
①より 2F(b)＞F(c)
定義より F(c)=F(c-1)+F(c-2)≧F(c-2)+F(c-2)=2F(c-2)
よって 2F(b)＞F(c)≧2F(c-2) ⇔ b＞c-2 ⇔ b+2＞c
b＜cと合わせて、b＜c＜b+2 ⇔ c=b+1
①にc=b+1を代入して
2F(b)=F(a)+F(b+1) ⇔ F(a)=F(b-2)
従って、等差数列をなす３つのFibonacci数の組はF(n),F(n+2),F(n+3)のみである
また公差はF(n+1)であり、F(n)-F(n+1)＜0 F(n+3)+F(n+1)＜F(n+4)なので
４項以上からなる等差数列は存在しない
従って、最大は３項である
2F(b)=F(a)+F(c) …① が成立
明らかに0＜F(n)≦F(n+1)なので
①より 2F(b)＞F(c)
定義より F(c)=F(c-1)+F(c-2)≧F(c-2)+F(c-2)=2F(c-2)
よって 2F(b)＞F(c)≧2F(c-2) ⇔ b＞c-2 ⇔ b+2＞c
b＜cと合わせて、b＜c＜b+2 ⇔ c=b+1
①にc=b+1を代入して
2F(b)=F(a)+F(b+1) ⇔ F(a)=F(b-2)
従って、等差数列をなす３つのFibonacci数の組はF(n),F(n+2),F(n+3)のみである
また公差はF(n+1)であり、F(n)-F(n+1)＜0 F(n+3)+F(n+1)＜F(n+4)なので
４項以上からなる等差数列は存在しない
従って、最大は３項である