ｸｲｽﾞ大陸

囁きを公開できないのでここに書きます

A(n)は末尾が1なので
明らかにP=2,5は題意を満たす

pが2,5以外の素数のとき
A(1)、A(2)・・・A(p)を
pで割ったときの余りを考える。
すべてpで割り切れないとすると
0を除く余りはp-1通りなので
A(1)、A(2)・・・A(p)の中に余りが等しいものが存在する
それをA(j)、A(i)とすれば　(1≦i<j≦p)
A(j)-A(i)はpの倍数である。
また定義より
A(j)-A(i)=(10^j-1)/9-(10^i-1)/9
=(10^j-10^i)/9
=10^i*(10^(j-i)-1)/9=A(j-i)*10^i
従って、A(j-i)*10^iはpの倍数
またpは2,5以外の素数なので(p,10)=1
よってA(j-i)はpの倍数となる

以上から2,5以外の素数pについては
A(n)/pが整数となるpが存在するので
題意を満たすpは2,5