一度は「期待値は求められない」、と結論付けたのですが、ボムボムさんに指摘された後、もう一度よーく考え直した結果、「期待値は求められる」という結論に至りました
以前にも触れましたが、もともとの方針は「n回のうちA君がk回当たる確率をP(n,k)とおき、E=Σ[k=0~n]k*P(n,k) を計算する」というものでした。ですが、これでやるとどうしてもP(n,k)が複雑になってしまい行き詰ります。
ではいったいどう解くのか。・・・じつはこちらもただの「
連立漸化式」で処理できてしまうのです
さてさて、それでは解答を・・・。
(3*3の場合について考える)
対称性より、生徒を次のように二種類に分類して考えることが出来る。
C B C
B☆B
C B C
（☆はA君の位置）
一人目にあたった生徒がXグループの生徒で、(n+1)人あてたときの、A君が当たる回数の期待値をX
nとおく。(X=B,C)
このとき
B
1=1/4 B
2=5/16 B
3=29/64
C
1=0 B
2=1/6 C
3=7/32
まずB
n+1をB
nやC
nなどを用いて表すことを考える。
1回目の移動によって場合分けをする。
(ア)B→B
2回目〜(n+1)回目までの移動によるA君の当たる回数の期待値はB
n、1回目までにA君の当たる回数の期待値は0に等しい。またB→Bの確率は1/4。
よって1/4 B
n(イ)B→C
2回目〜(n+1)回目までの移動によるA君の当たる回数の期待値はC
n、1回目までにA君の当たる回数の期待値は0に等しい。またB→Cの確率は1/2。
よって1/2 C
n(ウ)B→A→B
3回目〜(n+1)回目までの移動によるA君の当たる回数の期待値はB
n-1、2回目までにA君の当たる回数の期待値は1に等しい。またB→A→Bの確率は1/4。
よって1/4 (B
n-1 + 1)
(ア)〜(ウ)より
B
n+1 = 1/4 B
n + 1/4 (B
n-1 + 1) + 1/2 C
n (n≧2)
同様に考えることで
C
n+1 = 1/2 B
n + 1/2 C
n (n≧1)
∴B
n = 2 C
n+1 - C
n (n≧1)
上式に代入して整理すると
8 C
n+2 - 6 C
n+1 - 3 C
n + C
n-1 - 1 = 0 (n≧2)
⇔(8 C
n+2 + 2 C
n+1 - C
n) = (8 C
n+1 + 2 C
n - C
n-1) + 1 (n≧2)
⇔8 C
n+2 + 2 C
n+1 - C
n = n + 1 (n≧2)
n=1のときも成立するので
8 C
n+2 + 2 C
n+1 - C
n = n + 1 (n≧1)
C
n = D
n + (n - 1)/9 とおくと
8 D
n+2 + 2 D
n+1 - D
n = 0 (n≧1)
D
1=0,D
2=1/72とあわせてこの漸化式を解くと
D
n = 2/27 (1/4)^n + 1/27 (-1/2)^n (n≧1)
∴C
n = (n - 1)/9 + 2/27 (1/4)^n + 1/27 (-1/2)^n (n≧1)
B
n = 2 C
n+1 - C
n (n≧1)に代入して整理すると
B
n = (n + 1)/9 - 1/27 (1/4)^n - 2/27 (-1/2)^n (n≧1)
以上より、求める期待値E
n = 1/2 (B
n + C
n)は
E
n = n/9 + 2/27 (1/4)^(n-1) + 1/27 (-1/2)^(n-1) (n≧1)
ところで
lim[n→∞]E
n/n = 1/9
より、あてる人数を増やしていくにつれて1/9に近づいていくことがわかる。
・・・思っていたよりずいぶん期待値の式が綺麗で驚きました
漸化式はちょっとだけ複雑でしたので、一応解説をつけて置きました
連立漸化式の解き方はいくつもありますが、おそらくこの方法が一番計算が楽・・・なはず。
ところで、4*4の場合はどうなるのでしょう？実は、こちらは4つの数列による連立漸化式になってしまい、とても解く気が出ません(;o;)実際の教室はもっと広いですが、手計算では3*3が精一杯です(-へ-;)
CBCD
BABC
CBCD
DCDE
さらにさらに補足。この考え方、実は他の問題でも応用できます。よくある問題でいえば「正四面体を転がす」とか。大学入試の問題では確率を求めさせる場合しか見たことがありませんが、この方法だと期待値も求められてしまうのです
以前にも触れましたが、もともとの方針は「n回のうちA君がk回当たる確率をP(n,k)とおき、E=Σ[k=0~n]k*P(n,k) を計算する」というものでした。ですが、これでやるとどうしてもP(n,k)が複雑になってしまい行き詰ります。
ではいったいどう解くのか。・・・じつはこちらもただの「連立漸化式」で処理できてしまうのです
さてさて、それでは解答を・・・。
(3*3の場合について考える)
対称性より、生徒を次のように二種類に分類して考えることが出来る。
C B C
B☆B
C B C
（☆はA君の位置）
一人目にあたった生徒がXグループの生徒で、(n+1)人あてたときの、A君が当たる回数の期待値をXnとおく。(X=B,C)
このとき
B1=1/4 B2=5/16 B3=29/64
C1=0 B2=1/6 C3=7/32
まずBn+1をBnやCnなどを用いて表すことを考える。
1回目の移動によって場合分けをする。
(ア)B→B
2回目〜(n+1)回目までの移動によるA君の当たる回数の期待値はBn、1回目までにA君の当たる回数の期待値は0に等しい。またB→Bの確率は1/4。
よって1/4 Bn
(イ)B→C
2回目〜(n+1)回目までの移動によるA君の当たる回数の期待値はCn、1回目までにA君の当たる回数の期待値は0に等しい。またB→Cの確率は1/2。
よって1/2 Cn
(ウ)B→A→B
3回目〜(n+1)回目までの移動によるA君の当たる回数の期待値はBn-1、2回目までにA君の当たる回数の期待値は1に等しい。またB→A→Bの確率は1/4。
よって1/4 (Bn-1 + 1)
(ア)〜(ウ)より
Bn+1 = 1/4 Bn + 1/4 (Bn-1 + 1) + 1/2 Cn (n≧2)
同様に考えることで
Cn+1 = 1/2 Bn + 1/2 Cn (n≧1)
∴Bn = 2 Cn+1 - Cn (n≧1)
上式に代入して整理すると
8 Cn+2 - 6 Cn+1 - 3 Cn + Cn-1 - 1 = 0 (n≧2)
⇔(8 Cn+2 + 2 Cn+1 - Cn) = (8 Cn+1 + 2 Cn - Cn-1) + 1 (n≧2)
⇔8 Cn+2 + 2 Cn+1 - Cn = n + 1 (n≧2)
n=1のときも成立するので
8 Cn+2 + 2 Cn+1 - Cn = n + 1 (n≧1)
Cn = Dn + (n - 1)/9 とおくと
8 Dn+2 + 2 Dn+1 - Dn = 0 (n≧1)
D1=0,D2=1/72とあわせてこの漸化式を解くと
Dn = 2/27 (1/4)^n + 1/27 (-1/2)^n (n≧1)
∴Cn = (n - 1)/9 + 2/27 (1/4)^n + 1/27 (-1/2)^n (n≧1)
Bn = 2 Cn+1 - Cn (n≧1)に代入して整理すると
Bn = (n + 1)/9 - 1/27 (1/4)^n - 2/27 (-1/2)^n (n≧1)
以上より、求める期待値En = 1/2 (Bn + Cn)は
En = n/9 + 2/27 (1/4)^(n-1) + 1/27 (-1/2)^(n-1) (n≧1)
ところで
lim[n→∞]En/n = 1/9
より、あてる人数を増やしていくにつれて1/9に近づいていくことがわかる。
・・・思っていたよりずいぶん期待値の式が綺麗で驚きました
漸化式はちょっとだけ複雑でしたので、一応解説をつけて置きました
ところで、4*4の場合はどうなるのでしょう？実は、こちらは4つの数列による連立漸化式になってしまい、とても解く気が出ません(;o;)実際の教室はもっと広いですが、手計算では3*3が精一杯です(-へ-;)
CBCD
BABC
CBCD
DCDE
さらにさらに補足。この考え方、実は他の問題でも応用できます。よくある問題でいえば「正四面体を転がす」とか。大学入試の問題では確率を求めさせる場合しか見たことがありませんが、この方法だと期待値も求められてしまうのです