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Argentum
2010/11/03 22:41
【解答】
左からn番目に１が来る並べ方をan通り、３が来る並べ方をbn通りとする。
すると、２は１と、４は３と条件が相同であるので、
左からn番目に２が来る並べ方はan通り、４が来る並べ方はbn通りとなる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
□漸化式を求める
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(i)左からn番目が１であるとき
| n-1 | n |
１− １
３− １
４− １
上図のように、左からn番目が１であるとき、
左からn-1番目は１，３，４のいずれかであるから、
an=an-1+2bn-1 (1.1)
(ii)左からn番目が３であるとき
| n-2 | n-1 | n |
１− ３ − ３
２−
− １ − ３
− ２ − ３
上図のように、左からn番目が３であるとき、
(ii-1)左からn-1番目が１または２である場合
(ii-2)左からn-1番目が３である場合（左からn-2番目は１または２である）
の２通りがある。したがって、
bn=2an-1+2an-2 (1.2)
(1.1),(1.2)式より次の式が導ける。
an=an-1+4an-2+4an-3 (2.0)
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
□初項、第二項、第三項を求める
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(iii)初項について
左から１番目に１が来るのは、１のみ。
同様に左から１番目に３が来るのは、３のみ。よって、
a1=1 b1=1 (2.1)
(iv)第二項について
左から２番目に１が来るのは、左から１番目が１，３，４のとき。
左から２番目に３が来るのは、左から１番目が１，２，３のとき。
a2=3 b2=3 (2.2)
(v)第三項について
左から３番目に１がくるのは、(2.2)式を用いて
(v-1)左から２番目が１で３通り
(v-2)左から２番目が２で３通り
(v-3)左から２番目が３で３通り
の計９通り。
同様にして左から３番目に３がくるのは、(2.2)式を用いて
(v-4)左から２番目が１で３通り
(v-5)左から２番目が２で３通り
(v-6)左から２番目が３で、かつ左から１番目が１または２の２通り
の計８通り。したがって、
a3=9 b3=8 (2.3)
ここで(2.3)式は(1.1)式および(1.2)式を満たしているのを確認できる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
□第四項、第五項を求める
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
漸化式(2.0)および(2.1)、(2.2)、(2.3)式より、
a4=a3+4a2+4a1 = 25 (3.1)
b4=2a3+2a2 = 24 (3.2)
同様にして
a5=a4+4a3+4a2 = 73 (3.3)
b5=2a4+2a3 = 68 (3.4)
求めるのは左から５番目に１，２，３，４がそれぞれ来る数え方を足し合わせたものなので、
総数をX通りとすれば
X = 2(a5+b5) = 282
【答】２８２通り
左からn番目に１が来る並べ方をan通り、３が来る並べ方をbn通りとする。
すると、２は１と、４は３と条件が相同であるので、
左からn番目に２が来る並べ方はan通り、４が来る並べ方はbn通りとなる。
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□漸化式を求める
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(i)左からn番目が１であるとき
| n-1 | n |
１− １
３− １
４− １
上図のように、左からn番目が１であるとき、
左からn-1番目は１，３，４のいずれかであるから、
an=an-1+2bn-1 (1.1)
(ii)左からn番目が３であるとき
| n-2 | n-1 | n |
１− ３ − ３
２−
− １ − ３
− ２ − ３
上図のように、左からn番目が３であるとき、
(ii-1)左からn-1番目が１または２である場合
(ii-2)左からn-1番目が３である場合（左からn-2番目は１または２である）
の２通りがある。したがって、
bn=2an-1+2an-2 (1.2)
(1.1),(1.2)式より次の式が導ける。
an=an-1+4an-2+4an-3 (2.0)
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□初項、第二項、第三項を求める
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(iii)初項について
左から１番目に１が来るのは、１のみ。
同様に左から１番目に３が来るのは、３のみ。よって、
a1=1 b1=1 (2.1)
(iv)第二項について
左から２番目に１が来るのは、左から１番目が１，３，４のとき。
左から２番目に３が来るのは、左から１番目が１，２，３のとき。
a2=3 b2=3 (2.2)
(v)第三項について
左から３番目に１がくるのは、(2.2)式を用いて
(v-1)左から２番目が１で３通り
(v-2)左から２番目が２で３通り
(v-3)左から２番目が３で３通り
の計９通り。
同様にして左から３番目に３がくるのは、(2.2)式を用いて
(v-4)左から２番目が１で３通り
(v-5)左から２番目が２で３通り
(v-6)左から２番目が３で、かつ左から１番目が１または２の２通り
の計８通り。したがって、
a3=9 b3=8 (2.3)
ここで(2.3)式は(1.1)式および(1.2)式を満たしているのを確認できる。
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□第四項、第五項を求める
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漸化式(2.0)および(2.1)、(2.2)、(2.3)式より、
a4=a3+4a2+4a1 = 25 (3.1)
b4=2a3+2a2 = 24 (3.2)
同様にして
a5=a4+4a3+4a2 = 73 (3.3)
b5=2a4+2a3 = 68 (3.4)
求めるのは左から５番目に１，２，３，４がそれぞれ来る数え方を足し合わせたものなので、
総数をX通りとすれば
X = 2(a5+b5) = 282
【答】２８２通り