ｸｲｽﾞ大陸

【導入】
リンデマン＝ワイエルシュトラスの定理から、
　　　　　C₁e^α+C₂e^β+C₃e^γ=0　　　　　　　　　　・・・(A)

は自明。ここでα、β、γは代数的数である。
(A)式においてα=0, C₃=0 とすると、次の式を得る。
　　　　　C₁+C₂e^β=0　　　　　　　　　　　　　　　　・・・(B)

ここでもしe^βが代数的数であるなら、e⁰(=1)と一次独立とならない。
つまり、C_k≠0 でも(B)式を満たす場合が存在し、
これはリンデマン＝ワイエルシュトラスの定理に矛盾する。
　　　　　代数的数βに対してe^βは超越数である　　　　　　　・・・(*)

【問題(1)】
(*)によって β=1 とするとただちにeは超越数であると分かる。

【問題(2)】
(B)式でπが代数的数であると仮定すると、
(*)からe^iπは超越数となる。
しかしオイラーの公式
　　　　　e^iπ=-1　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・(C)

により、これは矛盾する。したがってπは超越数。

【問題(3)】
代数的数θに対して、cosθを代数的数と仮定する。
　　　　　2cosθ-( e^iθ+e^-iθ ) =0　　　　　　　　・・・(D)

(A)式において α=0 ,β=iθ ,γ=-iθ とおくと、
(D)式からC₁,C₂,C₃は0を満たさずともよく、
これはリンデマン＝ワイエルシュトラスの定理に反する。
したがってθ=aと考えて、
　　　　　代数的数aに対してcosaは超越数である　　　　　・・・(* *)

【問題(4)】
区間[a,b]に対して平均値の定理から、
　　　　　|cosb-cosa|/|b-a|=|sinc|＜1　　　　・・・(E)
a＜c＜bとなるcが存在する。（|sinc|=1となるのはa=bのみ）
ここで、題意の式
　　　　　A_n(x)=cos(A_n-1(x))

において(バナッハの)不動点定理から関数列は縮小写像であることと、
　　　　　cosx = x　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・(F)
の解に収縮することがわかる。すなわち、この解をψとするなら、
　　　　　A_∞(x) = A_∞(0) = ψ

である。（【補足(a),(b)】）
さて、ψを代数的数とするなら、(F)式によってcosψも代数的数となる。
しかしこれは(* *)と矛盾する。よってψは超越数である。