ｸｲｽﾞ大陸

【問題】
リンデマン＝ワイエルシュトラスの定理に関連して、
以下の数が超越数であることを示してください。
(1)　ネイピア数（自然対数の底）e
(2)　円周率π
(3)　cosα (αは代数的数かつα ≠ 0)
(4)　ψ = cos(cos(cos(・・・cos(cos(0)))・・・))

　　　ψについて。関数列{A_n(x)}が、
　　　　　　　　A_n(x)=cos(A_n-1(x))
　　　　　　　　A₁(x)=cos(x)

　　　を満たしているものとする。ここで、
　　　　　　　　lim_n→∞ A_n(x) = A_∞(x)

　　　とするとき、極限関数 A_∞(x) は 直線A_∞(0)に収束すると考えられ、
　　　この値を ψ と置く。

【補足】
(i).
超越数 とは　代数方程式の解とならない複素数 のことで、すなわち、
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　　　　　Σ[k;0→n]C_k x^k = 0


についての複素数解として表せない数を 超越数、
逆にその複素数解で表される数を 代数的数
ただしC_kは有理数係数または整数係数。
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(ii).
リンデマン＝ワイエルシュトラスの定理　とは、
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相違なる代数的数の組{α₁ , α₂ , ・・・,α_n}を用いて表される以下の式、
　　　　　Σ[k;0→n]C_k e^α_k = 0

を満たす代数的数の組
{C₁ , C₂ , ・・・,C_n}は{0 , 0 , ・・・, 0}のみである
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(iii).
余力のある方は【問題】(4)の

(a)A_∞(x) はA_∞(0)に収束すること
(b)A_∞(0)がどんな値か

にも挑戦してみてください。