ｸｲｽﾞ大陸

【解答】
　　　　　An(x) = sin(An-1(x))
とおけます。したがってn≧2のとき、
　　　　　{An(x)}' =　cos(An-1(x))・{An-1(x)}'
　　　　　　　　　　 =　Π[k=1→n-1]cos(Ak(x))・{A1(x)}'
　　　　　　　　　　 =　Π[k=1→n-1]cos(Ak(x))・cosx
すなわち、(※1)
　　　　　{An(x)}' / cosx = Π[k=1→n-1]cos(Ak(x))
この両辺を区間[mπ,x]で積分して(※2)
　　　　　An(x) = ∫[mπ→x] Π[k=1→n-1]cos(Ak(x))・{sinx}' dx
　　　　　　　　　= {An(x)}'tanx - ∫[mπ→x]{{An(x)}' / cosx }' sinx dx
　　　　　　　　　= {An(x)}'tanx - ∫[mπ→x]({An(x)}'(tanx)^2 + {An(x)}''tanx)dx
よって
　　　　　An(x) = y
とおけば求める微分方程式
　　　　　y - y'tanx + ∫[mπ→x](y'(tanx)^2 + y''tanx)dx = 0
となり、An(x)はその解です。

(※1)
厳密さを追求するなら
　　　　　cosx = 0
となる場合、すなわち
x = π/2 + nπ
の場合分けが必要となります。

(※2)
No2を受けて修正。
詳しくは以下を参照してください。