お忙しい中ご回答ありがとうございます。
なるほど。フーリエ級数展開からsin(sin(x))の近似式を求めて、
そこから積分するという手法ですね。
sin(sin(x))はやはり特殊な関数と連動するのですね。
ベッセル関数
Jα(x)= Σ[m=0→∞](-1)m(x/2)2m+α/{m! Γ(m+α+1)}を用いて以下の近似式
sin(sin(x)) ≒ 0.880 sin(x) + 0.039 sin(3x) が得られて、
∫sin(sin(x)) dx ≒ -0.880cos(x) -0.013cos(3x) +C
ということですか。なんかの解析に使いたいですね
Argentum
興味の的である sin(sin(x)) は，明らかに周期 2π を持つ奇関数ですから，
フーリエ正弦級数で表現すると性質が分かり易そうです．
実際に求めてみると，第 1 種ベッセル関数という特殊関数 Jn(z) を用いて，
sin(sin(x)) = 2 J1(1) sin(x) + 2 J3(1) sin(3x) + (-94 J1(1) + 360 J2(1)) sin(5x) + ...
のように求められます．
第 3 項以降は絶対値が 1/1000 以下のようですので，実質上
sin(sin(x)) ≒ 0.880 sin(x) + 0.039 sin(3x)
と考えてよいと思います．これなら積分も簡単ですね．
なお，第 1 種ベッセル関数は，２つの特殊関数，Γ関数と超幾何関数を用いて表せます．
そういう意味では，Γ関数と関係ありますね．