ｸｲｽﾞ大陸

>>13
No.8は brタグが入ってしまったので、見にくくなっているため、ここに書き直してみます。
subタグが見にくくなるので、No.8 の囁きの s と t を入れ替えてみました。
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[解答] 無限に長くできる。
[証明]
t₀= 0,　 t_2n = t_n, 　t_2n+1 = 1 - t_2n
によって定義される、{0,1} 上の無限列 T ＝ t₀t₁t₂... を考える。
T = 01101001100101101001011001101001...

�@【 t_n ＝ t_n+1 ⇒ n ≡ 1 (mod 2) 】(定義より、明らか。)

�A【 T には 000 も 111 も現れない。】(�@より、明らか。)

�B【 T の長さ5 の任意の連続部分列に必ず 00 か 11 が現れる。】
もし 00 か 11 が存在しないとすると、01010 か 10101 となるが、
定義より、t_4nt_4n+1t_4n+2t_4n+3 ∈ {0110,1001} なので、不可能。

�C【 t_n ＝ t_n+m ＝ t_n+2m ∧ t_n+j ＝ t_n+m+j (0＜j＜m) を満たす
　　 n, m (n≧0, m＞0) は存在しない。】
仮に存在したとして m が最小のものについて考える。
まず、�Aより、m は 1 ではない。
また、m は 1 より大きな奇数でもない。なぜならこの時、
t_n...t_n+2m は長さ 7 以上になるが、�Bにより 00 または 11 が現れることになる。
t_n...t_n+m ＝ t_n+m...t_n+2m なので、その 00 か 11 は２度現れ、
その距離は丁度 m であるが、m は奇数なので、どちらかは�@に反する。
更に、m は 偶数でもない。なぜなら、n が偶数の時、T の定義 より、
n→n/2, m→m/2 としたものも明らかに�Cの条件を満たす。
また、n が奇数の時も、T の定義 より、n が偶数の時と全く同様にして、
n→(n-1)/2, m→m/2 としたものが明らかに�Cの条件を満たす。
これは m が最小である仮定に反する。
以上により、m は 1以上の整数になり得ず、矛盾する。

[定理]【 繰り返しのパターンが現れない{0,1,2}上の無限列 S が存在する 】
S を、T の 0 から次の 0 までの 1 の個数を順に記した数列とする。
S = 210201210120210...
�Aにより、S は {0,1,2}上の無限列である。
仮に、S に繰り返しのパターン XX (X＝x₀...x_n) が現れたとすれば、S の定義より
01^x₀01^x₁...01^x_n01^x₀01^x₁...01^x_n0
が T の中に現れることになるが、これは�Cに反する。

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数列 T は、Thue-Morse 数列と呼ばれています。
良く知られている、他の繰り返しパターンを含まない簡単な例は、
初期状態 0,　置換規則 0→012, 1→02, 2→1
を適用していく数列　01202101210201... で、この数列に、
置換規則：0→011, 1→01, 2→0
を適用したものが、T になることも知られています。