【
>>6 の補足 1 】
＊「 . 」を掛け算の意味で使用。Primes は素数の意味。odd は奇数の意味。
素因子は素因数の意味。他の用語等は
>>4を参照
＊「平方因子を含まない数」というのは、素因数分解した時に、
素因子の指数部が全て 1 である数を指します。つまり、2
2, 3
2, 5
2,...
といった、素数の 2 乗で割り切れない数の事です。
例えば 98 = 2
17
2 なので、
平方因子を含むことになり、
210 = 2
13
15
17
1 なので、
平方因子を含まない数です。
英語では、平方因子を含まないことを square-free や quadratfrei と言います。
＊②の表現の例
奇数乗の素因子だけ a に1個割り振り、残りは全て x にとすれば良いことになります。
例えば 1865245307444880768 = 2
73
411
12011
4 なので、
a=2.11, x=2
33
22011
2 とすれば良いことになります。
＊④で、5.7.11.13.23.29.19!/ (2
93
3) ＞ (4/3)
19 19 ! を示すには、
3
16.5.7.11.13.23.29 ＞ 2
47 を示せば良いですが、↓ より明らかです。
(11.13.29).(3
8.5).(3
8.7.23) ＝ (4147).(32805).(1056321)
(2
12).(2
15).(2
20) ＝ (4096).(32768).(1048576)
＊④と同じやり方で、より厳しい評価 (3/2)
2010 2010 ! も出来ます。
ただ、数が大きくなれば成り立つのは当たり前ですが、
初めの方は成り立たないわけで(63で初めて成り立ちます)、
どのくらいから成り立つかを具体的に示すのは、計算機なしでは面倒です。
＊計算機(PC)を使えば、最初の2010個の平方因子を含まない数の積 (＞10
6198) や
最初の2010個の 4 で割り切れない数の積 ＝ 2680!/(4
670 670!) (＞10
6017) が
Π
q∈Primes, q＜2010 q
[2010/q]+1 (＜10
5990) より大きいことを示せばよく、
実際に膨大な掛け算を実行（多倍長演算の工夫等が必要ですが・・・) したり、
対数を取って比較したりすることで確かめれば、④以降の議論は必要なかったりします。
というか、単純だけど膨大な計算を実行すればおしまい的な問題であれば、
PC に任せるスタイルの方が私的には楽で好みだったり
・・・初めはこれで④以降を「実際に計算させてみると・・・矛盾」等と示そうとしてました
実際、④以降は技巧的に過ぎるので、数学クイズとしては、計算させて証明終わり、と
したいところです。(;o;)
＊ほぼ全く同じやり方で、素数p≡3 (mod 4) について、証明できます。
＊Caes 2 の部分はほぼ Erdos 1939. のやり方と同じです。
ただ、Erdos は ①を示すのに、[SylvesterとSchurの定理] を使っていたのに対して、
この問題では 2011 という数字を使って Case 1 を使う事で解決してます。
あと⑦では、Erdos は [Legendreの公式] を活用していますが、この問題では
具体的にp= 2,3 について指数部を計算をすることで解決しています。
＊Erdos や一般的な証明が気になる人は、問題文の一行目のリンク先へ。
★質問があれば気楽にどうぞ★
ついでに、ヒント２で、「連続する6つの整数の積を考えて下さい。」
と言い放ってしまったので、
>>6 に則して簡単に証明してみます。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
>>6 の Case1 と、Case2 の①,②,③ までは全く同じように進めて、
④ b ≧ 1.2.3.5.6.7 ＝ 1260 (最初の6個の平方因子を含まない数の積)
⑤ b ≦ 2
23
25
2 ＝ 900 (b は平方数 でないといけないので 2 の指数は 2)
④、⑤より、矛盾。
＊「 . 」を掛け算の意味で使用。Primes は素数の意味。odd は奇数の意味。
素因子は素因数の意味。他の用語等は >>4を参照
＊「平方因子を含まない数」というのは、素因数分解した時に、
素因子の指数部が全て 1 である数を指します。つまり、22, 32, 52,...
といった、素数の 2 乗で割り切れない数の事です。
例えば 98 = 2172 なので、平方因子を含むことになり、
210 = 21315171 なので、平方因子を含まない数です。
英語では、平方因子を含まないことを square-free や quadratfrei と言います。
＊②の表現の例
奇数乗の素因子だけ a に1個割り振り、残りは全て x にとすれば良いことになります。
例えば 1865245307444880768 = 273411120114 なので、
a=2.11, x=233220112 とすれば良いことになります。
＊④で、5.7.11.13.23.29.19!/ (2933) ＞ (4/3) 19 19 ! を示すには、
316.5.7.11.13.23.29 ＞ 247 を示せば良いですが、↓ より明らかです。
(11.13.29).(38.5).(38.7.23) ＝ (4147).(32805).(1056321)
(212).(215).(220) ＝ (4096).(32768).(1048576)
＊④と同じやり方で、より厳しい評価 (3/2)2010 2010 ! も出来ます。
ただ、数が大きくなれば成り立つのは当たり前ですが、
初めの方は成り立たないわけで(63で初めて成り立ちます)、
どのくらいから成り立つかを具体的に示すのは、計算機なしでは面倒です。
＊計算機(PC)を使えば、最初の2010個の平方因子を含まない数の積 (＞106198) や
最初の2010個の 4 で割り切れない数の積 ＝ 2680!/(4670 670!) (＞106017) が
Πq∈Primes, q＜2010 q[2010/q]+1 (＜105990) より大きいことを示せばよく、
実際に膨大な掛け算を実行（多倍長演算の工夫等が必要ですが・・・) したり、
対数を取って比較したりすることで確かめれば、④以降の議論は必要なかったりします。
というか、単純だけど膨大な計算を実行すればおしまい的な問題であれば、
PC に任せるスタイルの方が私的には楽で好みだったり
・・・初めはこれで④以降を「実際に計算させてみると・・・矛盾」等と示そうとしてました
実際、④以降は技巧的に過ぎるので、数学クイズとしては、計算させて証明終わり、と
したいところです。(;o;)
＊ほぼ全く同じやり方で、素数p≡3 (mod 4) について、証明できます。
＊Caes 2 の部分はほぼ Erdos 1939. のやり方と同じです。
ただ、Erdos は ①を示すのに、[SylvesterとSchurの定理] を使っていたのに対して、
この問題では 2011 という数字を使って Case 1 を使う事で解決してます。
あと⑦では、Erdos は [Legendreの公式] を活用していますが、この問題では
具体的にp= 2,3 について指数部を計算をすることで解決しています。
＊Erdos や一般的な証明が気になる人は、問題文の一行目のリンク先へ。
★質問があれば気楽にどうぞ★
ついでに、ヒント２で、「連続する6つの整数の積を考えて下さい。」
と言い放ってしまったので、>>6 に則して簡単に証明してみます。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
>>6 の Case1 と、Case2 の①,②,③ までは全く同じように進めて、
④ b ≧ 1.2.3.5.6.7 ＝ 1260 (最初の6個の平方因子を含まない数の積)
⑤ b ≦ 223252 ＝ 900 (b は平方数 でないといけないので 2 の指数は 2)
④、⑤より、矛盾。