ｸｲｽﾞ大陸

http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=12239
にこの問題を一般化された問題が出題されています。
（ちなみに私も↑は解けてません(;o;)）
↑進展？があったので、詳しくは↑のコメントで。
ちなみに、この問題には何も影響はありませんので、
安心して考えてみてください。
（独立した別問題として考えた方が楽に解ける、という意味です。）

おもしろいなぁ、と思い、もう少し簡単な問題を出題。
それでも難しいと思うので、★5 にしました。

では問題です 。
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連続する2010個の整数の積は、平方数になるだろうか？

平方数とは、正の整数の２乗になっている数のこととする。（例：1,4,9,16,25,...)
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つまり、例えば、23からはじまる2010個の整数の積「23*24*...*2031*2032」が
n² （n∈正の整数）の形で表されるだろうか？
という問題です。23以外にも色々考えて、
出来るのなら、存在することを説明してください（具体的な例を一例挙げる等）。
出来ないのなら、なぜできないかを説明してください。

＊難しいので、勝手にヒント君セット。
＝＝＝：追記：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
しかしヒントが全部表示されそうにないことに気づいたので、
時間とともに、ここでヒント公開します

ヒント１
2010という数字が鍵になってきます。2011は素数です。

ヒント２(9月2日追加)
2010ではなくて、連続する6つの整数の積の場合を考えてみてください。

ヒント３(9月3日追加) 2 ページ目になったので公開！
pが素数の時、(p-1) ! ≡ -1 (mod p) となります。これを使います。

ヒント４(9月4日追加)
数式を愛した博士によると、2以外のすべての素数は2種類に分類されるそうです。

ヒント５(9月7日追加) 最終ヒントにして、最大のヒントです。これまでのヒントを全部使えば、答えは出てくる！？
有名な [Fermat の小定理] を使います。
p が素数で p と s が互いに素 ⇒ s^p-1≡1 (mod p)

＊３ページ目になりましたので、投稿日からまだ日数があまり経過していませんが、
近いうち（今週の金曜か土曜予定）に解答します。
全てのヒントを読んで、使い方をアレコレ試行錯誤すれば解けるはずですので、
是非チャレンジしてください。(＞o＜)

:追記：
初めに用意した答えNo.4に不備がありました。
No.6 に訂正版を出したので、そちらをご覧ください。