第1回：問題1「極限」問題2「不等式」 ≫No. 1
Meteor
2010/08/07 15:09
問題1：テーマ『極限』
※各問共通注意事項
特に指示のない限り，途中の思考過程を記すこと。
問1(200点)
数列{an}の極限を求めよ(結果だけで良い)。
an＝(1+n-1)n
問2(200点)
数列{bn}の極限を求めよ(問1の結果を用いてよい)。p，qは実数とする。
bn＝(1-pn-1)qn
問3(360点)
f(x)＝(x+2(1/2))21+210(1+(log│x│)2+sin2x)-1-2100について，
(甲)任意のxに対して，f(x)≧g(x)となるような関数g(x)を1つ求めよ。(120点)
(乙)任意のxに対して，f(x)≦h(x)となるような関数h(x)を1つ求めよ。(120点)
(丙)以上で求めたg(x)，h(x)を用いて，方程式f(x)＝0が実数解を持つことを示せ。(120点)
問4(200点)
xを限りなく0へ近づける時の極限値を求めよ。d≠0とする。
(cosaxsinbx-sinbxcosbx-cosaxsinbxcoscx+sinbxcosbxcoscx)/(x4sindx)
問5(240点)
(甲)数列{cn}の極限を求めよ。p＞0，q＞0，r＞0とする。(120点)
cn＝(pn+q)(1/2)-(rn)(1/2)
(乙)数列{dn}の極限を求めよ。p＞0，q＞0，r＞0，s＞0とする。(120点)
dn＝(sn)(1/2){(pn+q)(1/2)-(rn)(1/2)}
問6(360点)
(甲)数列{en}の極限を求めよ。(120点)
en＝2nn!/nn
(乙)数列{fn}の極限を求めよ。(120点)
fn＝3nn!/nn
(丙)(甲)(乙)の結果から2と3の間の或る数を境に結果が変わることが予想される。その値を求め，その時どうなるかについて論ぜよ。(120点)
問7(200点)
数列{gn}は収束するか。
gn＝n-n(nが素数の時)，n-1(nが合成数の時)
問8(240点)
数列{hn}の挙動について論ぜよ。H＞0，h1＞0とする。
ヒント：決まった答えはないが，数列の増減，単調性など数列{hn}の特徴を列挙すればよい。
hn+1＝2-1{hn＋+H(hn)-1}
問題2：テーマ『不等式』
問1(200点)
次の各数を大きい方から順に並べよ。等しいものは等号で結べ。ただし，eは自然対数の底，πは円周率，logの底はeとする。
e，π，eπ，e/π，π/e，eπ，πe，eloge，elogπ，πloge，πlogπ
問2(200点)
66(1/2)-8は或る自然数の逆数よりも小さく，その次の自然数の逆数よりも大きいという。或る自然数を求めよ。
問3(200点)
次の不等式を示せ。
cos1<2-sin1<tan1
問4(200点)
次の不等式を示せ。exp(x)＝exである。
1≦exp(x(1/2))/(1+x(1/2))≦1/(1-x) (0≦x＜1)
問5(400点)
[x]はガウス記号でN≦x＜N+1を満たす整数Nを表す。
(甲)x2の整数部分が[x]となるような実数xを全て求めよ。(160点)
(乙)f(x)＝(x2-x+20)(1/2)について，
(乙一)f(x)が実数となるような実数xを全て求めよ。(80点)
(乙二上)f(n)の整数部分が[n](＝n)となるような整数nを全て求めよ。(80点)
(乙二下)(乙二上)で求めたnのうち最大のものをnmaxとする。f(x)の整数部分が[x]となるような実数x∈(-∞,nmax]を全て求めよ。(80点)
問6(200点)
次の不等式を示せ。
π3/216+1/512+(πarcsin0.6)/16≧arcsin30.6
問7(400点)
いずれも負でない実数A,B,C,L,M,N,S,T,Uは，
(A+B+C-1)2+(L+M+N-1)2+(S+T+U-1)2＝0
(A+L+S-1)2+(B+M+T-1)2+(C+N+U-1)2＝0
を満たし，実数O,P,Q,X,Y,Zは，
X≦Y≦Z
O＝AX＋BY＋CZ
P＝LX＋MY＋NZ
Q＝SX＋TY＋UZ
を満たす。
(甲)O+P+Q＝X+Y+Zを示せ。(200点)
(乙)次のうち常に成り立つ不等式についてはそれを示し，そうでないものは反例を挙げよ。(200点)
O≧X，P≧Y，Q≧Z，Q≦Z，O+P≧X+Y
問8(200点)
数列{an}について調べた結果，分かったことを述べよ。
an＝[(n+1)(1/2)+1/2]-[n(1/2)+1/2]
お気に入りは問1，3，8です。なかなか面白い。
★問題3以降のテーマについて(予定)
問題3：平面図形
問題4：行列(行列は表記が面倒なので，積分法に変更する可能性が高い)
問題5：確率
※各問共通注意事項
特に指示のない限り，途中の思考過程を記すこと。
問1(200点)
数列{an}の極限を求めよ(結果だけで良い)。
an＝(1+n-1)n
問2(200点)
数列{bn}の極限を求めよ(問1の結果を用いてよい)。p，qは実数とする。
bn＝(1-pn-1)qn
問3(360点)
f(x)＝(x+2(1/2))21+210(1+(log│x│)2+sin2x)-1-2100について，
(甲)任意のxに対して，f(x)≧g(x)となるような関数g(x)を1つ求めよ。(120点)
(乙)任意のxに対して，f(x)≦h(x)となるような関数h(x)を1つ求めよ。(120点)
(丙)以上で求めたg(x)，h(x)を用いて，方程式f(x)＝0が実数解を持つことを示せ。(120点)
問4(200点)
xを限りなく0へ近づける時の極限値を求めよ。d≠0とする。
(cosaxsinbx-sinbxcosbx-cosaxsinbxcoscx+sinbxcosbxcoscx)/(x4sindx)
問5(240点)
(甲)数列{cn}の極限を求めよ。p＞0，q＞0，r＞0とする。(120点)
cn＝(pn+q)(1/2)-(rn)(1/2)
(乙)数列{dn}の極限を求めよ。p＞0，q＞0，r＞0，s＞0とする。(120点)
dn＝(sn)(1/2){(pn+q)(1/2)-(rn)(1/2)}
問6(360点)
(甲)数列{en}の極限を求めよ。(120点)
en＝2nn!/nn
(乙)数列{fn}の極限を求めよ。(120点)
fn＝3nn!/nn
(丙)(甲)(乙)の結果から2と3の間の或る数を境に結果が変わることが予想される。その値を求め，その時どうなるかについて論ぜよ。(120点)
問7(200点)
数列{gn}は収束するか。
gn＝n-n(nが素数の時)，n-1(nが合成数の時)
問8(240点)
数列{hn}の挙動について論ぜよ。H＞0，h1＞0とする。
ヒント：決まった答えはないが，数列の増減，単調性など数列{hn}の特徴を列挙すればよい。
hn+1＝2-1{hn＋+H(hn)-1}
問題2：テーマ『不等式』
問1(200点)
次の各数を大きい方から順に並べよ。等しいものは等号で結べ。ただし，eは自然対数の底，πは円周率，logの底はeとする。
e，π，eπ，e/π，π/e，eπ，πe，eloge，elogπ，πloge，πlogπ
問2(200点)
66(1/2)-8は或る自然数の逆数よりも小さく，その次の自然数の逆数よりも大きいという。或る自然数を求めよ。
問3(200点)
次の不等式を示せ。
cos1<2-sin1<tan1
問4(200点)
次の不等式を示せ。exp(x)＝exである。
1≦exp(x(1/2))/(1+x(1/2))≦1/(1-x) (0≦x＜1)
問5(400点)
[x]はガウス記号でN≦x＜N+1を満たす整数Nを表す。
(甲)x2の整数部分が[x]となるような実数xを全て求めよ。(160点)
(乙)f(x)＝(x2-x+20)(1/2)について，
(乙一)f(x)が実数となるような実数xを全て求めよ。(80点)
(乙二上)f(n)の整数部分が[n](＝n)となるような整数nを全て求めよ。(80点)
(乙二下)(乙二上)で求めたnのうち最大のものをnmaxとする。f(x)の整数部分が[x]となるような実数x∈(-∞,nmax]を全て求めよ。(80点)
問6(200点)
次の不等式を示せ。
π3/216+1/512+(πarcsin0.6)/16≧arcsin30.6
問7(400点)
いずれも負でない実数A,B,C,L,M,N,S,T,Uは，
(A+B+C-1)2+(L+M+N-1)2+(S+T+U-1)2＝0
(A+L+S-1)2+(B+M+T-1)2+(C+N+U-1)2＝0
を満たし，実数O,P,Q,X,Y,Zは，
X≦Y≦Z
O＝AX＋BY＋CZ
P＝LX＋MY＋NZ
Q＝SX＋TY＋UZ
を満たす。
(甲)O+P+Q＝X+Y+Zを示せ。(200点)
(乙)次のうち常に成り立つ不等式についてはそれを示し，そうでないものは反例を挙げよ。(200点)
O≧X，P≧Y，
Q≧Z，Q≦Z，O+P≧X+Y問8(200点)
数列{an}について調べた結果，分かったことを述べよ。
an＝[(n+1)(1/2)+1/2]-[n(1/2)+1/2]
お気に入りは問1，3，8です。なかなか面白い。
★問題3以降のテーマについて(予定)
問題3：平面図形
問題4：行列(行列は表記が面倒なので，積分法に変更する可能性が高い)
問題5：確率