さて、ここからが（＋α）の余談の部分です。
次の問題は、中学生が解くのかな？高校生かな？というものです。
Yahoo知恵袋でも質問されていますし、宿題の丸投げじみているので皆さんに解けとは申しません。
半径ｒの円形の花壇のまわりに、幅ａの道がついています。
この道の面積をＳ、道の真ん中を通る円周の長さをｌとすると、
Ｓ＝ａｌ
となることを証明しなさい。
という問題です。図が無いのでイメージしにくいですよね。
半径ｒ＋ａの大きな円から半径ｒの小さな円をくり抜いたドーナツ型の面積がａｌになれば良い
ってお話です。
まず、ドーナツ型の面積Ｓを求めることにしましょう。
（大きな円）－（小さな円）＝ドーナツ型（Ｓ）ですよね。
円の面積の公式は小学生だと、半径×半径×３．１４と習います。
今回は中学生的に、πｒ＾として計算することにしましょう。
Ｓ＝π（ｒ＋ａ）＾－πｒ＾
＝πｒ＾＋２πａｒ＋πａ＾－πｒ＾
＝２πａｒ＋πａ＾
＝
πａ（２ｒ＋ａ）ドーナツ型の面積は出ましたが…ここまでは大丈夫ですか？（私自身怪しいですよ）
どこにもｌが出て来ていないので比べようがないですね。ということで、ａｌを何とかｒを使って表してみることにしましょう。ｌというのは、小さい円の半径にａの半分を加えた中くらいの円の円周に当たります。
円周＝直径（２ｒ）×円周率（π）で求められるので、
ｌ＝２π（ｒ＋ａ／２）
＝２πｒ＋πａ
で、
ａｌ＝ａ（２πｒ＋πａ）
＝２πａｒ＋πａ＾
＝
πａ（２ｒ＋ａ）よって、
Ｓ＝ａｌ
証明できましたね。（頭痛い…数学大嫌い）
この問題だけ解いても、何の感動も湧いてこないのですが、視点を大きく広げてみましょう。
（これ以降も、数学が得意な人・好きな人は「何を当たり前のことを」と思われるでしょうが…）
ここで小学６年生までレベルを落としてみましょうか。質問です。（囁かないで結構です）
①正方形の面積の求め方…覚えていますか？
②長方形の面積の求め方…覚えていますか？
③平行四辺形の面積の求め方は？
④台形の面積は？
⑤三角形の面積は？
円の面積は…先ほどしましたね。 【半径×半径×３．１４】です。
ついでの質問です。
⑥長方形の面積の求め方で、正方形の面積を求めることが出来ますか？
⑦平行四辺形の面積の求め方で、長方形の面積を求めることが出来ますか？
⑧台形の面積の求め方で平行四辺形の面積求めることが出来ますか？
⑨台形の面積の求め方で三角形の面積を求めることが出来ますか？
次の問題は、中学生が解くのかな？高校生かな？というものです。
Yahoo知恵袋でも質問されていますし、宿題の丸投げじみているので皆さんに解けとは申しません。
という問題です。図が無いのでイメージしにくいですよね。
半径ｒ＋ａの大きな円から半径ｒの小さな円をくり抜いたドーナツ型の面積がａｌになれば良い
ってお話です。
まず、ドーナツ型の面積Ｓを求めることにしましょう。
（大きな円）－（小さな円）＝ドーナツ型（Ｓ）ですよね。
円の面積の公式は小学生だと、半径×半径×３．１４と習います。
今回は中学生的に、πｒ＾として計算することにしましょう。
Ｓ＝π（ｒ＋ａ）＾－πｒ＾
＝πｒ＾＋２πａｒ＋πａ＾－πｒ＾
＝２πａｒ＋πａ＾
＝πａ（２ｒ＋ａ）
ドーナツ型の面積は出ましたが…ここまでは大丈夫ですか？（私自身怪しいですよ）
どこにもｌが出て来ていないので比べようがないですね。ということで、ａｌを何とかｒを使って表してみることにしましょう。ｌというのは、小さい円の半径にａの半分を加えた中くらいの円の円周に当たります。
円周＝直径（２ｒ）×円周率（π）で求められるので、
ｌ＝２π（ｒ＋ａ／２）
＝２πｒ＋πａ
で、
ａｌ＝ａ（２πｒ＋πａ）
＝２πａｒ＋πａ＾
＝πａ（２ｒ＋ａ）
よって、
Ｓ＝ａｌ
証明できましたね。（頭痛い…数学大嫌い）
この問題だけ解いても、何の感動も湧いてこないのですが、視点を大きく広げてみましょう。
（これ以降も、数学が得意な人・好きな人は「何を当たり前のことを」と思われるでしょうが…）
ここで小学６年生までレベルを落としてみましょうか。質問です。（囁かないで結構です）
①正方形の面積の求め方…覚えていますか？
②長方形の面積の求め方…覚えていますか？
③平行四辺形の面積の求め方は？
④台形の面積は？
⑤三角形の面積は？
円の面積は…先ほどしましたね。 【半径×半径×３．１４】です。
ついでの質問です。
⑥長方形の面積の求め方で、正方形の面積を求めることが出来ますか？
⑦平行四辺形の面積の求め方で、長方形の面積を求めることが出来ますか？
⑧台形の面積の求め方で平行四辺形の面積求めることが出来ますか？
⑨台形の面積の求め方で三角形の面積を求めることが出来ますか？